Часть 1. «Теория вероятностей». Задание 1. В партии из N=15 изделий n=4 имеют скрытый дефект

Задание 1. В партии из N=15 изделий n=4 имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад m=3 изделий k=2 изделий являются дефектными?

Решение.

Пусть событие А – " из взятых наугад m=3 изделий k=2 изделий являются дефектными ".

Общее число исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 3 изделия из 15, т.е. числу сочетаний из 15 элементов по 3 (порядок в данном случае не имеет значения).

Определим число исходов, благоприятствующих событию А.

2 дефектных изделия из 4 можно выбрать . способами; 3-е изделие – не дефектное – можно выбрать из 11 (15-4=11) не дефектных 11-ю способами. По правилу произведения

Искомая вероятность равна

Р(А) =

Ответ: Р(А)= 0,145.

Задание 2. В магазине выставлены для продажи n=12 изделий, среди которых k =4 изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом m =3 изделий будут некачественными?

Решение.

Пусть событие А – " взятые случайным образом 3 изделия будут некачественными".

Вероятность взять 1-е некачественное изделие равна 4/12, 2-е – 3/11,

3-е – 2/10. Тогда вероятность искомого события равна:

Р(А)= =0,0182.

Ответ: Р(А)= 0,0182.

Задание 3. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: n₁ =10 с первого завода, n₂=20 со второго, n₃ =20 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе p₁=0,9, на втором p₂=0,8, на третьем p₃=0,6. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

Решение.

Пусть событие А = { взятое случайным образом изделие будет качественным }.

Можно сделать следующие предположения:

Н ₁ – изделие поступило с 1-го завода;

Н ₂ -- изделие поступило с 2-го завода;

Н ₃ -- изделие поступило с 3-го завода.

Вероятности гипотез равны:

Р(Н ₁ )=

Р(Н ₂ )= Р(Н ₃ )=

Условные вероятности равны

Р(А/Н₁)=0,9; Р(А/Н₂)= 0,8; Р(А/Н₃)= 0,6.

По формуле полной вероятности имеем:

Р(А) = Р(Н₁)* Р(А/Н₁)+ Р(Н₂)* Р(А/Н₂)+ Р(Н₃)* Р(А/Н₃) = .

Ответ: Р(А)=0,74.

Задание 4. Дано распределение дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

х_i	-8	-2
p_i	0,1	0,3	0,4	0,2

Решение.

Найдем математическое ожидание М (Х):

M(X) = = -8*0,1 - 2*0,3 + 1*0,4 +3*0,2= -0,4.

Найдем математическое ожидание

M(X²) = :

M(X²) = (-8)²*0,1+(- 2)²*0,3 + 1²*0,4 +3²*0,2= 9,8.

Дисперсия

D(X) = М (Х²)-(М(Х))² = 9,8 – (-0,4)²= 9,64.

Среднее квадратическое отклонение

Ответ: M(X) =-0,4; 3,1.

Задание 5. В городе имеются N =4 оптовых баз. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах одинакова и равна p=0,1 Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.

Решение.

Пусть событие A – товар отсутствует на базе. Т.к. испытания независимы, воспользуемся формулой Бернулли:

P_n(k)=

Здесь P (A) = p = 0.1; q= 1- p = 1- 0.1= 0.9; число испытаний n = 4; Возможные значения случайной величины: 0, 1, 2, 3,4.

Найдем соответствующие вероятности:

=0,6561.

=0,2916.

= 0,0486.

= 0,0036.

= 0,0001.

Контроль: 0,6561+0,2916+0,0486+0,0036+0,0001= 1,0.

Составим ряд распределения.

X_i
P_i	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Задание 6. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно M_x =18, среднее квадратичное отклонение равно Ϭ_x =1. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале а=16, b=21.

Решение.

Найдем вероятность попадания в интервал по формуле

P (α < X < β) = Ф – Ф ,

где Φ(х)= - функция Лапласа,

Φ(-х)= Φ(х).

По условию, m_x =18;

P (16 < X < 21) = Ф – Ф = Ф(-2) – Ф(3) = - Ф(2) +Ф(3) =

=-0,4772+0,49865= 0,02145.

Ответ: P (16 < X < 21) =0,02145.

Задание 7. Найти линейную среднюю квадратическую регрессию случайной величины Y на случайную величину X на основе заданного закона распределения двумерной случайной величины.