Часть 2. Математическая статистика. Задание 1.Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным (смотри таблицу 1)

Задание 1. Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным (смотри таблицу 1), где n _i – частота попадания вариант в промежуток (x_i,, x_{i + 1}].

 

i		n i
	7 - 9
	9 - 11
	11 - 13
	13 - 15
	15 - 17

 

Решение.

Объем выборки n= 5+4+8+12+11=40.

Построим группированный статистический ряд относительных частот w_i=m_i/n

i		wi
	7 - 9	0,125
	9 - 11	0,1
	11 - 13	0,2
	13 - 15	0,3
	15 - 17	0,275

 

Построим гистограмму относительных частот

Задание 2. Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки.

xi	0,01	0,04	0,08	0,14
ni

 

Решение.

Объем выборки n= 19+28+31+22=100.

Составим расчетную таблицу

xi	0,01	0,04	0,08	0,14
ni
xi ni	0,19	1,12	2,48	3,08	6,87
∙ n i	0,0019	0,0448	0,1984	0,4312	0,6763

 

Вычислим выборочную среднюю по формуле:

Выборочную дисперсиювычислим по формуле:

= .

Найдем исправленную выборочную дисперсию

.

Т.к. объем выборки большой, исправленная выборочная дисперсиянезначительно отличается от выборочной дисперсии.

Ответ: 0,002064.

Задание 3. Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение а₀ =58 является математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при 5% уровне значимости для двусторонней критической области, если в результате обработки выборки объема n = 10 получено выборочное среднее =56, а выборочное среднее квадратичное отклонение равно s =4

Решение.

Сформулируем гипотезы.

Н₀ : -- математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно а₀ =58;

Н₁: -- математическое ожидание не равно 58.

Поскольку дисперсия генеральной совокупности неизвестна, для проверки основной гипотезы воспользуемся критерием Стьюдента:

,

где n = 10, а₀ =58, =56, s =4.

Найдем наблюдаемое значение критерия

.

Т.к. альтернативная гипотеза имеет вид: Н₁ : 58, то критическая область двухсторонняя.

По таблице критических точек распределения Стьюдента при заданном уровне значимости a = 0,05 и числу степеней свободы находим Т_кр (a,k)= Т_кр (0,05;9)= 2,26. Т.к. _кр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, т.е. можно считать, что математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно а₀ =58.

Ответ: Т=- 1,58; Т_кр = 2,26, гипотеза Н₀ принимается.

 

Задание 4. При уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу

H₀: о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин X и Y на основе выборочных данных при альтернативной гипотезе H₁: .

xi	ni	yi	mi

Решение.

По данным выборкам найдем исправленные выборочные дисперсии:

для Х

xi	ni	xi ∙ ni	∙ ni

Объем выборки n=15.

Вычислим выборочную среднюю по формуле:

Выборочную дисперсиювычислим по формуле:

= .

Найдем исправленную выборочную дисперсию

.

для Y

yi	mi	уi mi	∙ mi

 

Аналогично, найдем числовые характеристики для Y.

Объем выборки n=26.

Выборочная средняя:

Выборочная дисперсия:

= .

Исправленная выборочная дисперсия:

.

Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера

.

где в числителе стоит большая дисперсия.

Т.к. , n_х = 15, 1,98; n_у = 26, 3,28.

то наблюдаемое значение критерия равно

.

k ₁ = n₁ – 1 = 26 – 1 = 25 и k ₂ = n₂ – 1 = 15 – 1 = 14 (числа степеней свободы).

С помощью встроенной функции EXCEL FPACПОБР при уровне значимости a = 0,1 и данным числам степеней свободы находим

T_кр (0.1; 25; 14) =.1,93. Т.к. Т < Т_кр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу (т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны).

Ответ: Т=1,66; Т_кр = 1,93, гипотеза Н₀ принимается.

 

Приложение 1