Из истории уравнений. Метод ложного положения

Уже около 4000 лет назад вавилоняне и египтяне решали разные задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Уравнения первой и второй степеней умели решать в древности также китайские и индийские ученые.

Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаются во многих текстах глубокой древности. В Московском папирусе, представляющем свиток, изготовленный из растений, на котором сделаны записи около 1850 г. до н. э.,

И папирусе Ахмеса, например, содержатся задачи, в которых неизвестное имеет особый символ и название: «хау» или «аха». Оно означает «количество», «куча».

Так называемое «исчисление кучи», или «вычисление хау», приблизительно соответствует нашему решению задач с помощью уравнений.

Вот пример задачи и ее решения из папируса Ахмеса:

ЗАДАЧА 1 . «Количество и ее четвертая часть дают вместе 15».

В настоящее время для решения задачи составляется уравнение

х+¼ х = 15

Решая его, находим: х = 12

В папирусе Ахмеса решение начинается так: «Считай с 4; от них ты должен взять четверть. А именно 14 вместе 5». Затем 15 делится на 5, частное умножается на 4 и получается неизвестное 12.

Египетский метод решения является по существу методом предположения. Начинаются с того, что в качестве неизвестного берут произвольное число, в данном случае 4, так как четверть его, 1, просто вычисляется. Далее 4+1=5. Однако по условию задачи результат должен быть не 5, а 15,=> во сколько раз 15 больше 5, во столько раз неизвестное должно быть больше произвольно взятого числа 4.

Этот метод широко применялся в Азии и Европе в средние века и получил название «метода ложного положения». Применялся и «метод двух ложных положений».

Задачи на составление уравнений из Московскогого папируса.

К первым, самым древним задачам на составление уравнений, по-видимому, относятся некоторые задачи, содержащиеся в древнеегипетском Московском папирусе. (Этот папирус хранится в музее изобразительных искусств в Москве. Он изучен и расшифрован русскими учеными.)

Вот одна из задач Московского папируса.

ЗАДАЧА 2. «Число и его половина составляют 9».Найти число.

В современной записи уравнение к решению этой задачи будет иметь вид:

х + ½х = 9.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи связанные, с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

х² + х = ¾, х² – х = 14½.

Правило решения этих уравнений, изложенных в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.