Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемый объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот к примеру, одна из его задач.

Задача. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждал следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+х,

другое же меньше, т.е. 10 ─ х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение

(10 + х)(10 ─ х)=96,или же 100 ─ х² =96,

х²─4=0

х=2

 

Одно из искомых чисел равно 12,другое 8. Решение х=-2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решаем эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20─у)=96, у²─20у+96=0

 

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Задание ученикам

ЗАДАЧА: «Решить следующие квадратные уравнения из «Арифметики» Диофанта:

1) 12х²+х=1; 2)630х²+73х=6»

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило

решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах²+вх=с, а>0.

В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования

В решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

 

 

ЗАДАЧА

«Обезьянок резвых стая, А двенадцать по лианам…

Всласть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая, Сколько ж было обезьянок,