Исследование свойств дискретного сигнала

Условие задачи

Аналоговый сигнал s (t) длительностью t _с = 1 мс подвергнут дискретизации путем умножения на последовательность δ-импульсов. Интервал дискретизации T _д.

Требуется:

1. Рассчитать и построить график модуля спектральной плотности аналогового сигнала s (t).

2. Определить максимальную частоту в спектре аналогового сигнала f_m, ограничив спектр, в соответствии с одним из критериев.

3. Рассчитать интервал дискретизации T _д и число выборок N за время t _с.

4. Изобразить временную диаграмму дискретного сигнала под временной диаграммой аналогового сигнала в одном и том же временном масштабе.

5. Определить спектральную плотность дискретного сигнала и построить график ее модуля под графиком спектральной плотности аналогового сигнала в одном частотном масштабе.

6. Провести дискретное преобразование Фурье (ДПФ), определить коэффициенты ДПФ и построить спектрограмму модулей этих коэффициентов под графиками спектрограмм аналогового и дискретного сигналов в том же частотном масштабе.

7. Записать выражения для z -преобразования дискретного сигнала.

Исходный аналоговый сигнал представлен на рис. 5.1. [4]

Рис. 5.1 — Исходный аналоговый сигнал

Решение

Задаём аналитически сигнал, изображённый на рис. 5.1

(5.1)

Определяем спектральную плотность сигнала, используя прямое преобразование Фурье [1]

(5.2)

Подставляя выражение (5.1) в формулу (5.2), получаем

(5.3)

Спектрограмма модуля спектральной плотности, построенная в соответствии с (5.3), представлена на рис. 5.2.

Рис. 5.2 — Спектрограмма модуля аналогового сигнала

Определяем максимальную частоту спектра аналогового сигнала, ограничив спектр на уровне 0,1 от его максимального значения (см. рис. 5.2)

Преобразуем величину круговой частоты в частоту сигнала, измеряемую в Гц

Выберем интервал дискретизации T _д, исходя из теоремы Котельникова, в соответствии с которой [2]

(5.4)

Тогда число выборок N можно определить по формуле

. (5.5)

Положим интервал дискретизации равным

(5.6)

Подставляя (5.6) в (5.5), получаем

(5.7)

Подставляя в (5.7) известные значения, получаем

Округляем количество выборок до ближайшего целого числа

Выражаем интервал дискретизации из (5.5)

(5.8)

Подставляя в (5.8) известные значения получаем

Временные диаграммы исходного аналогового сигнала и соответствующего ему дискретного сигналов представлены на рис. 5.3.

Рис. 5.3 — Временные диаграммы аналогового (а) и дискретного (б) сигналов

Определяем спектральную плотность дискретного сигнала по формуле [1]

(5.9)

где k — номер отсчёта дискретного сигнала.

Подставляя в (5.9) известные значения, получаем

(5.10)

Так как спектральная плотность дискретного сигнала — периодическая непрерывная функция частоты, период которой равен частоте дискретизации то строим модуль (5.10) в диапазоне частот .

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) определяется соотношением [1]

(5.11)

где S (n) — коэффициенты ДПФ;

n — номер отсчета спектральной плотности; n = 0, 1, 2,... N.

Отсчеты спектральной плотности (5.11) следуют через интервалы

Δω_д = ω_д/ N = 2π/ T _д N.

Подставляя известные значения в (5.11), получаем

(5.12)

Спектрограмма модуля аналогового сигнала, спектрограмма модуля дискретного сигнала и спектрограмма модулей ДПФ представлены на рис. 5.4.

Рис. 5.4 — Спектрограмма модуля аналогового сигнала (а), спектрограмма модуля дискретного сигнала (б) и спектрограмма модулей ДПФ (в)

Продолжение рис. 5.4

Z -преобразование дискретного сигнала определяется соотношением [4]

(5.13)

где z = exp(pT _д) — комплексная переменная.

Подставим в (5.13) значения отсчетов дискретного сигнала и представим формулу в развёрнутом виде

(5.14)

Представим (5.14) в виде дробно-рациональной функции

(5.15)

Выводы

5.4.1. Построен график модуля спектральной плотности аналогового сигнала.

5.4.2. Определена и уточнена максимальная частота в спектре аналогового сигнала f_m = путем ограничения спектра на уровне 0,1 от его максимального значения.