Корреляционный анализ

Корреляция указывает на взаимосвязь ряда численных последовательностей. Корреляционный анализ показывает взаимосвязь между двумя и более случайными величинами. Анализ сводится к оценке разброса случайной величины относительно среднего значения. Коэффициент корреляции имеет следующий вид [1]:

, (12)

где N – число реализаций.

Если коэффициент корреляции |Р| ≈ 1 имеет место функциональная линейная зависимость вида:

у = b₀+b₁· x. (13)

В противном случае, если |Р| << 1, то между случайными переменными линейная зависимость отсутствует. Случай, когда 0 < |Р| <1 соответствует наличию линейной корреляции с рассеиванием.

С помощью программного пакета Microsoft Excel проводятся расчёты значения коэффициента корреляции для начальной влажности продукта и количества испаренной влаги на основании экспериментальных данных (Приложение Б): [x₁]=0.660531 и [x₂]=0.73276.

График корреляции для начальной и конечной влажности продукта представлен рисунке 5:

Рисунок 5 - График корреляции для начальной и конечной влажности высушиваемого продукта

График корреляции для конечной влажности продукта и количества испаренной влаги представлен на рисунке 6:

Рисунок 6 - График корреляции для испаренной влаги и конечной влажности

Коэффициенты корреляции для начальной влажности продукта 0<0.660531<1 и количества испаренной влаги 0<0.73276 свидетельствуют о том, что имеет место линейная корреляция с рассеиванием.

Регрессионный анализ

Данный анализ дает возможность построить модель, наилучшим образом соответствующую набору данных, полученных в ходе работы имитационной модели [1]. Оптимальным результатом считается минимизированная функция ошибки, которая является разностью между прогнозируемой моделью и данными эксперимента.

По результатам корреляционного анализа можно сделать вывод, что значения конечной влажности продукта на выходе из сушильной камеры линейно зависят от значений начальной влажности продукта на входе.

Линейная зависимость имеет вид:

. (14)

Значение коэффициента находится по формуле:

, (15)

Значение b₀ - по формуле:

, (16)

где i – номер опыта;

x – случайная величина;

y – значение опыта;

N – число значений.

При расчетах получено следующее выражение, описывающее зависимость конечной влажности продукта на выходе из сушильной камеры от начальной влажности молока:

. (17)

Мерой ошибки регрессионной модели служит среднеквадратичное отклонение σ:

s= . (18)

В данном случае оно равно σ=0.86402. Оно показывает, что в интервал 2σ попадает 95% точек нормально распределенного процесса.

График регрессии для случайной пары величин начальной и конечной влажности показан рисунке 7. Выражение, описывающее зависимость конечной влажности продукта от начальной влажности молока:

. (19)

Рисунок 7 - График регрессии для конечной и начальной влажности

График регрессии для конечной влажности продукта и испаренной влаги показан рисунке 8:

Рисунок 8 - График регрессии для конечной влажности и испаренной влаги

В результате имеем систему уравнений:

(20)

Преобразовав систему уравнений (20) получим уравнение линии регрессии: . (21)

Сравнив данное уравнение с раннее полученным уравнением регрессии (6) видим, что они выражают одну и ту же зависимость.

Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ используется, когда при обработке и анализе результатов моделирования ставится задача сравнения средних значений выборок [1].

Допустим, изучаемый фактор Х привел к выборке значений неслучайной величины Y следующего вида: y₁, y₂, ¼, y_k, где k – количество уровней фактора Х. Влияние фактора Х опишем неслучайной величиной D_x, называемой факторной дисперсией

, (22)

где - среднее арифметическое величины Y.

Пусть серия наблюдений на уровне y_i имеет вид: y_i₁, y_i1, ¼, y_in, где n – число повторных наблюдений на i-м уровне. Тогда на i-м уровне среднее значение наблюдений определяется как

, (23)