2017-12-14
3045
Параллельный перенос кривой второго порядка
Иногда начало координат смещается без поворота, к примеру, на c единиц по оси X и d единиц по оси Y. Тогда связь между старыми координатами (x; y) и новыми координатами (x 1; y 1) задаётся формулами:
и 
К примеру, если новое начало координат было смещено на 1 по оси ОХ и на 2 по оси OY (с = 1; d = 2), то для эллипса, заданного уравнением 
в исходной системе координат, его уравнение в новой системе станет 
.
Если имел место только параллельный перенос канонического вида кривой второго порядка, то достаточно представить имеющуюся формулу кривой в каноническом виде с учётом указанных формул перехода к новой системе координат.
Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение 
определить вид соответствующей кривой.
Преобразуем уравнение
Отсюда видно, что исходная кривая задаёт эллипс.
Поворот осей координат
При повороте осей координат на угол a против часовой стрелки начало координат не меняется, а связь между старыми координатами (x; y) и новыми координатами (x 1; y 1) задаётся формулами:
и 
Эти формулы используются при приведении уравнения кривой второго порядка к каноническому виду в более общем случае (при наличии поворота).
Пример. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 
определить её вид.
Наличие поворота кривой относительно её центра симметрии отражается наличием в формуле кривой ненулевого множителя при члене xy. Поэтому сначала найдём угол a, на который необходимо повернуть исходную кривую, чтобы множитель при члене xy стал равным 0, а затем уже известным нам способом избавимся от множителей при x и y.
Произведём замены при повороте на угол a по формулам
Множитель при x 1 y 1 приравняем нулю:
Если 
то из полученного уравнения 
что противоречит тождеству 
Поэтому 
и можно поделить обе части уравнения на 
. Отсюда 
Пусть 
Тогда 
Тогда
Выделим из каждой переменной полный квадрат
Если ввести обозначения 
, то
- 
