Запишем очевидную векторную формулу для вектора положения какой–либо точки в матричном виде. Найдем координаты вектора относительно отсчетного базиса. Разложим вектор по актуальному базису и введем «перенесенный» вектор , координаты которого в отсчетном базисе равны координатам вектора в актуальном; иными словами, – «повернутый» вместе с телом вектор (рис. 4.4).
Раскладывая векторы по отсчетному базису, получим
Рис. 4.4. Пространственное движение |
Введем матрицу поворота и столбцы :
; ; .
Векторная формула в матричной записи имеет вид:
. (4.9)
Матрица поворота является ортогональной, т. е.
единичная матрица. (4.10)
Доказательство этого утверждения – формула (4.8).
Вычисляя определитель произведения (4.10), получим а так как в отсчетном положении , то (ортогональные матрицы с определителем, равным +1, называют собственно ортогональными или матрицами поворота). Матрица поворота при умножении на векторы не изменяет ни длин векторов, ни углов между ними, т. е. действительно их поворачивает.
|
|
Матрица поворота имеет один собственный (неподвижный) вектор , который задает ось поворота. Иными словами, надо показать, что система уравнений , где имеет единственное решение. Запишем систему в виде ( . Определитель этой однородной системы равен нулю, так как следовательно, система имеет ненулевое решение. Предположив, что имеется два решения , тут же придем к выводу, что перпендикулярный к ним также является решением (углы между векторами не изменяются), а это значит, что , т. е. поворота нет.
Будем считать неподвижный вектор оси поворота единичным, а его направление – согласованным с положительным направлением отсчета угла поворота в соответствии с принятой ориентацией пространства (с конца положительный поворот виден против часовой стрелки) (рис. 4.5). Матрицу поворота будем обозначать
Рис. 4.5. Ось поворота |
Дифференцируя (4.10), получим:
или, обозначив – матрица сп на (англ. to spin – вертеть) . Таким образом, матрица спина кососимметрическая: . Умножая справа на , получим формулу Пуассона для матрицы поворота: .
Мы подошли к самому трудному в рамках матричного описания моменту – определению вектора угловой скорости. Можно, разумеется, поступить стандартным (см., например, способом и написать: «Введем обозначения для элементов кососимметрической матрицы S по формуле
Если составить вектор , то результат умножения матрицы на вектор может быть представлен в виде векторного произведения ». В приведенной цитате – вектор угловой скорости.
|
|
Дифференцируя (4.9), получим матричную запись основной формулы кинематики твердого тела :
.
Матричный подход, будучи удобным для вычислений, очень мало подходит для анализа и вывода соотношений; любую формулу, написанную на векторном и тензорном языке, без труда можно записать в матричном виде, а вот получить компактную и выразительную формулу для описания какого–либо физического явления в матричном виде трудно.
Кроме того, не следует забывать, что элементы матрицы являются координатами (компонентами) тензора в каком–либо базисе. Сам тензор не зависит от выбора базиса, а его компоненты зависят. Для безошибочной записи в матричном виде необходимо, чтобы все векторы и тензоры, входящие в выражение, были записаны в одном базисе, а это не всегда удобно, поскольку разные тензоры имеют «простой» вид в разных базисах, поэтому нужно пересчитывать матрицы с помощью матриц перехода.