Дано: моменты инерции произвольной фигуры относительно координатных осей z, y; угол поворота этих осей α (рис.4.8). Считаем угол поворота против часовой стрелки положительным.
Определить: моменты инерции фигуры относительно z1, y1.
Рис.4.8
Координаты произвольной элементарной площадки dF в новых осях выражаются через координаты прежней системы осей следующим образом:
z1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,
y1 = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α.
Подставим эти значения в (4.6) и (4.8) и проинтегрируем почленно:
,
,
Учитывая формулы (4.6) и (4.8), окончательно находим:
Jz1 = Jzcos2α + Jysin2α – Jzysin 2α,
Jy1 = Jzsin2α + Jycos2α + Jzysin 2α, (4.15)
. (4.16)
Складывая формулы (4.15), получим: (4.17)
Jz1 + Jy1 = Jz + Jy = const.
Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции остаётся постоянной. При этом каждый из них меняется в соответствии с формулами (4.15). Ясно, что при каком-то положении осей моменты инерции будут иметь экстремальные значения: один из них будет наибольшим, другой – наименьшим.