Тема 9. Система эконометрических уравнений

 

Одна из простейших систем одновременных уравнений используется при моделировании спроса и предложения в рыночной экономике. В этом случае в предположении, что спрос Q^D и предложение Q^S являются линейными функциями, от цены P, получим следующую систему уравнений:

Q^D = α₀ + α₁P + ∆₁, (функция спроса)

Q^S = β₀ + β₁P + ∆₂, (функция предложения)

Q^D = Q^S (условие равновесия)

При рассмотрении систем эконометрических уравнений переменные делятся на два больших класса – эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные – это переменные, значения которых определяются внутри модели и обозначаются обычно как «Y». Экзогенные переменные – это внешние по отношению к модели переменные, их значения определяются вне модели и поэтому они считаются фиксированными, обозначаются обычно как «Х».

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть представлена по-разному.

1. Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная «Y» рассматривается как функция одного и того же набора факторов «Х»:

y₁ = a₁₀ + a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +…+ a_1mx_m + ∆₁,

y₂= a₂₀ + a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2mx_m+ ∆₂,

………………………………………

y_n = a_n0 + a_n1x₁ +a_n2x₂+…+ a_nmx_m+ ∆_n.

Каждое уравнение системы может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов.

2. Система рекурсивных уравнений, когда зависимая переменная «Y» включается в каждое последующее уравнение в качестве факторов:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +…+ a_1mx_m + ∆₁,

y₂= b₂₁y₁ + a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2mx_m+ ∆₂,

y₃= b₃₁y₁ + b₃₂y₂ + a₃₁x₁ + a₃₂x₂ …+ a_3mx_m+ ∆₃,

……………………………………………………………….

y_n= b_n1y₁ + b_n2y₂ + …+ b_nn-1y_n-1 + a_n1x₁ + a_n2x₂ …+ a_nmx_m+ ∆_n,

В таких моделях параметры уравнения оцениваются поэтапно (у₁→у₂→у₃→…→у_n). Применение МНК для таких моделей позволяет получить несмещенные и состоятельные оценки.

3. Система взаимозависимых, совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели), в ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях в правую часть системы:

y₁ = b₁₂y₂ + b₁₃y₃ + … + b_1ny_n + a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +…+ a_1mx_m + ∆₁,

y₂= b₂₁y₁ + b₂₃y₃ + … + b_2ny_n + a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2mx_m+ ∆₂,

…………………………………………………………….

y_n= b_n1y₁ + b_n2y₂ + …+ b_nn-1y_n-1 + a_n1x₁ + a_n2x₂ …+ a_nmx_m+ ∆_n,

 

В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК не применим. С этой целью необходимо использовать специальные методы оценивания.

Как один из необходимых этапов определения структурных коэффициентов модели, структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели, которая представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

y₁ = λ₁₁x₁ + λ₁₂x₂ +…+ λ_1mx_m,

y₂= λ₂₁x₁ + λ₂₂x₂ + …+ λ_2mx_m,

…………………………………

y_n = λ_n1x₁ +λ_n2x₂+…+ λ_nmx_m+.

 

По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить λ, а затем оценить значение эндогенных переменных через экзогенные.При переходе от приведенной формы модели к структурной сталкиваются с проблемой идентификации.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида: идентифицируемая, сверхидентифицируемая, неидентифицируемая.

Проверка структурной модели на идентифицируемость позволяет установить степень возможности оценивания коэффициентов структурных уравнений по коэффициентам приведенных уравнений.

Необходимое условие идентифицируемости уравнения системы: уравнение модели идентифицируемо, если количество n эндогенных переменных этого уравнения на единицу больше количества р предопределенных переменных системы, не входящих в данное уравнение, т.е.:

n<p+1, то уравнение сверхидентифицируемо;

n>p+1, то уравнение неидентифицируемо;

n=p+1, то уравнение идентифицируемо.

Идентификация не применяется для тождеств модели.

Достаточное условие идентифицируемости уравнения системы:

Если определитель ∆^* матрицы коэффициентов М^* при переменных системы, не входящих в данное уравнение, не равен нулю и количество эндогенных переменных системы без единицы равно рангу этой матрицы, то уравнение модели идентифицируемо (∆^* ≠ 0, rang М^* = n – 1).

Наибольшее распространение получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели: косвенный метод наименьших квадратов;двухшаговый метод наименьших квадратов;трехшаговый метод наименьших квадратов;метод максимального правдоподобия с полной информацией;метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

 

Образец решения задачи контрольной работы:

 

Проверим, идентифицированы ли уравнения модели «спрос-предложение» с помощью необходимого условия.

= α₀ + α₁P_i + ∆_1i,

= β₀ + β₁P_i + ∆_2i.

 

Решение

, , P_i – эндогенные переменные, соответственно величины спроса, предложения и цены. Для каждого из уравнений n = 2, Р=0. Следовательно, Р+1<n, это означает, что оба они неидентифицируемы. В этом случае изменяют модель так, чтобы она, с одной стороны, содержала основные эндогенные и экзогенные переменные, которые определяют спрос и предложение, а с другой – была эконометрически разрешима.