Момент импульса и закон его сохранения

Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки () называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

,

где -радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А; - импульс материальной точки (рис. 4.4); – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль вектора момента импульса равен:

где – угол между векторами и ; – плечо вектора относительно точки O.

Моментом импульса относительно неподвижной оси (z) называется скалярная величина (), равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки (О) данной оси. Момент импульса () не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, то есть радиус является плечом вектора . Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен: и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

. (4.1)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцировав уравнение (4.1) по времени получим:

, то есть .

Это выражение есть еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. Физический смысл этого выражения: скорость изменения момента импульса равна моменту сил.

В векторной форме это можно записать так:

;

В замкнутой системе момент () внешних сил равен нулю и, следовательно, , откуда

= сonst. (4.2)

Выражение (4.2) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы не изменяется с течением времени. Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы.

Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, то есть с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета. Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение:

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса		Момент инерции
Скорость		Угловая скорость
Ускорение		Угловое ускорение
Сила		Момент силы	или
Импульс		Момент импульса
Основные уравнения динамики		Основные уравнения динамики
Работа		Работа
Кинетическая энергия		Кинетическая энергия
Закон сохранения импульса		Закон сохранения момента импульса

Момент импульса и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматрива­ется аналогия между ними, только во вра­щательном движении вместо силы «вы­ступает» ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количества дви­жения) материальной точки А относитель­но неподвижной точки О называется физи­ческая величина, определяемая векторным произведением:

, (4.13)

где - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; — импульс материальной точки (рис.4.10); - псевдо­вектор, его направление совпадает с на­правлением поступательного движения правого винта при его вращении от к . Модуль вектора момента импульса

L = rp sin ά = mvr sin ά = pl,

где ά - угол между векторами и , l - плечо вектора относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О дан­ной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого те­ла вокруг неподвижной оси z каждая от­дельная точка тела движется по окружно­сти постоянного радиуса r_i с некоторой скоростью _.

Скорость и импульс m_i перпендикулярны этому радиусу, т. е. ра­диус является плечом вектора m_i . Поэто­му можем записать, что момент импульса отдельной частицы

L_iz = mυ_ir_i, (4.14)

и направлен по оси в сторону, определяе­мую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела отно­сительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

. (4.15)

Используя формулу υ_i = ωr_i получим

, (4.16)

т. е.

L_z = I_z ω. (4.17)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведе­нию момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (4.17) по времени:

,

или

. (4.18)

Это выражение - основное урав­нение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная по времени момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место век­торное равенство

. (4.19)

В замкнутой системе момент внешних сил = 0 и , откуда

= const. (4.20)

Выражение (4.20) представляет собой закон сохранения момента импульса: мо­мент импульса замкнутой системы сохра­няется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импуль­са - фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии про­странства - его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов отно­сительно выбора направления осей коор­динат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в простран­стве на любой угол).