Определим линейные ускорения звеньев манипулятора и найдем их значения аналитическим методом

Для определения проекций векторов на оси координат записывают матричные уравнения:

(10)

(11)

- столбец координат точки D в системе

, (12)

- матрицы переноса соответственно от систем координат 1 к 0 и 2 к 1:

(13)

-матрицы поворота при переходе соответственно от систем координат 1 к 0 и 3 к 2;

Подставив (11)-(13) в (10), получим матрицы:

. (14)

Запишем модули соответствующих векторов:

|OB|=0,5000 м; |BC|=0,5000 м; |CD|=0,1414 м.

Ускорение точки В:

. (15)

Вектор и угол между векторами равны нулю, следовательно, .

Ускорение точки С:

(16)

Здесь откуда матрица:

. (17)

Используя зависимости (3), (7) и (8), составляем матрицу векторного произведения :

. (18)

Для определения матрицы векторного произведения используем зависимости (3), (7) и (14):

. (19)

Относительная линейная скорость звена 2:

, откуда получаем матрицу:

. (20)

Матрицу вектора ускорения Кориолиса составляют с использованием зависимостей (3), (7) и (20):

. (21)

Складывая матрицы (17)-(19) и (21), получим матрицу вектора :

. (22)

Модуль вектора ускорения

Ускорение точки D:

(23)

где матрицы входящих в уравнение векторных произведений определяют с использованием зависимостей (7), (9), (14) и (22):

. (24)

Складывая матрицы (22) и(24), получим матрицу-столбец вектора :

, (25)

откуда модуль вектора ускорения .

4. Построим планы угловых и линейных ускорений (графический метод).

4.1 План угловых ускорений. Построение плана угловых ускорений (рис. 3) начинаем с определения полюса и величины масштаба в соответствии с угловым ускорением , направленного, как и вдоль оси .

Примем масштаб .

Из полюса , являющегося началом системы координат плана угловых скоростей, проводим отрезок длиной 40 мм. Ускорение второго звена совпадает с . По законам ТММ, угловое ускорение третьего звена определяется следующим выражением:

. (26)

Относительное ускорение равно и в соответствии с рис. 2, направлено под углом 30 градусов к оси Y в плоскости . В указанном направлении, из конца вектора в той же плоскости проводим отрезок длинной 40 мм, характеризующий угловое ускорение третьего звена относительно первого. Составляющая имеет величину:

(27)

и направлена под углом 30 градусов к оси Y, однако лежит в отрицательной области оси Х плоскости . Из конца вектора , проводим отрезок длиной 50 мм. Отрезок, соединяющий полюс плана и конец вектора , будет искомым угловым ускорением третьего звена.

Рисунок 3 - План угловых ускорений

4.2 План линейных ускорений. Построение плана линейных ускорений (рис. 4) начинаем с определения полюса . Точки О, А и В не имеют линейных ускорений. Линейное ускорение точки С, складывается из составляющих релятивного ускорения (обусловлено относительным ускорением второго звена относительно первого, определяется аналогично переносной скорости , направлено вдоль звена), нормального (обусловлено угловой скоростью второго звена, определяется проецированием на базовую систему координат, направлено к центру вращения с учетом проекции звена), касательного (обусловлено угловым ускорением второго звена, определяется проецированием на базовую систему координат, направлено перпендикулярно касательному ускорению), и ускорения Кориолиса (обусловлено сложным характером движения – вращательное второго звена и поступательное первого звена, с учетом не параллельности главных осей звеньев):

. (28)

С учетом правил построения векторов ускорений, имеем, что сонаправлены пары ускорений с и с . Как и для скорости , результирующий вектор должен лежать в плоскости . На первом этапе построения плана линейных ускорений, выполним построение векторов, составляющих . Вектор направлен противоположно (см. рис.4, лаб. работа № 5) – под углом 30 градусов к оси . Из табл. 1, величина .

Принимаем масштаб плана ускорений .

Проводим отрезок длиной 10 мм. Аналогично направленный по второму звену вектор , определяется произведением квадрата угловой скорости на длину второго звена:

. (29)

Проводим отрезок длиной 10 мм из конца вектора в том же направлении. Перпендикулярно направленный вектору , вектор , определяется величиной:

. (30)

Проводим отрезок длиной 8 мм из конца вектора в перпендикулярном направлении. Величина кориолисова ускорения определяется величиной:

. (31)

Из конца вектора , проводим отрезок длиной 50 мм, характеризующий . Складывая длины четырех указанных векторов, получаем ускорение .

Точка D принадлежит вращательному звену 3, потому ускорение не имеет составляющей релятивного ускорения, а так как главные оси второго и третьего звеньев параллельны, то отсутствует и кориолисово ускорение. Остаются составляющая , а так же нормальная и тангенциальная составляющие:

. (32)

Достраивая взаимоперпендикулярные вектора и , получаем искомое ускорение точки D .

Рисунок 4 - План линейных ускорений

 

Анализируя план линейных ускорений, делаем вывод о том, что ускорение точки D в первую очередь определяется ускорением Кориолиса, зависящим от достаточно высокого значения линейной скорости второго звена (см. табл. 1). Необходимо отметить и то, что достаточно малы значения нормальной и касательной составляющих для третьего звена, по причине малых габаритов этого звена. Пример плана линейных ускорений наглядно доказывает то, что третье звено в манипуляторе предназначено в первую очередь для ориентирующей функции, а кинематическую функцию исполняет второе звено.

Варианты заданий

№ варианта	задание	№ варианта	задание
	2.1		8.3
	2.2		9.1
	2.3		9.2
	3.1		9.3
	3.2		10.1
	3.3		10.2
	4.1		10.3
	4.2		11.1
	4.3		11.2
	5.1		11.3
	5.2		12.1
	5.3		12.2
	6.1		12.3
	6.2		13.1
	6.3		13.2
	7.1		13.3
	7.2		14.1
	7.3		14.2
	8.1		14.3
	8.2		1.3

 

Пример варианта задания: 16 - 5.1. Вариант 16, схема 5, подвариант 1.

 

Схема 1

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5						0,2	0,2
	1,5				1,25	1,0			0,2	0,2
	0,75	0,25					0,2	0,2
		1,75						0,1	0,2
	1,75				1,4	0,5			0,1	0,2
	1,0	0,3					0,1	0,1
								0,1	0,1
	1,75				1,3	0,5			0,2	0,2
	1,2	0,5					0,1	0,1

 

Схема 2

 

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5						0,2	0,2
	1,5						0,2	0,2
	0,75	0,25			1,0	0,5			0,2	0,2
		1,75						0,1	0,2
	1,75						0,1	0,1
	1,0	0,3			1,0	0,5			0,1	0,2
								0,1	0,1
	1,75						0,1	0,1
	1,2	0,5			1,0	0,5			0,2	0,2

Схема 3

 

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5				1,0	0,5			0,2	0,2
	0,5						0,2	0,2
	1,5				1,0	0,5			0,2	0,2
	0,75	0,25					0,2	0,2
		1,75				1,25	0,75			0,1	0,2
	0,75						0,1	0,1
	1,75				1,25	0,75			0,1	0,2
	1,0	0,3					0,1	0,2
						1,6	1,0			0,1	0,1
	0,75						0,1	0,1
	1,75				1,25	1,0			0,2	0,2
	1,2	0,5					0,1	0,1

Схема 4

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
			Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5						0,2	0,2
	0,5				1,0	0,5			0,2	0,2
	1,5				1,0	0,5			0,2	0,2
	0,75	0,25					0,2	0,2
		1,75						0,1	0,1
	0,75				1,25	0,75			0,1	0,2
	1,75				1,25	0,75			0,1	0,2
	1,0	0,3					0,1	0,2
								0,1	0,1
	0,75				1,6	1,0			0,1	0,1
	1,75				1,25	1,0			0,2	0,2
	1,2	0,5					0,1	0,1

Схема 5

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
			Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5						0,1	0,2
	0,5						0,2	0,2
	1,5						0,2	0,2
	0,75	0,25			1,0	0,5			0,2	0,2
		1,75						0,1	0,2
	0,75						0,1	0,1
	1,75						0,1	0,2
	1,0	0,3			1,0	0,5			0,1	0,2
								0,1	0,1
	0,75						0,1	0,1
	1,75						0,2	0,2
	1,2	0,5			1,0	0,5			0,1	0,1

Схема 6

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
			Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5				2,0	0,5			0,2	0,2
	0,5						0,2	0,2
	1,5				1,0	0,5			0,2	0,2
	0,75	0,25					0,2	0,2
		1,75				2,25	0,75			0,1	0,2
	0,75						0,1	0,1
	1,75				1,25	0,75			0,1	0,2
	1,0	0,3					0,1	0,2
						1,6	1,0			0,1	0,1
	0,75						0,1	0,1
	1,75				1,25	1,0			0,2	0,2
	1,2	0,5					0,1	0,1

 

Схема 7

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5				2,0	0,5			0,2	0,2
	0,5						0,2	0,2
	1,5						0,2	0,2
	0,75	0,25			1,0	0,5			0,2	0,2
		1,75				2,25	0,75			0,1	0,2
	0,75						0,1	0,1
	1,75						0,1	0,2
	1,0	0,3			1,25	0,75			0,1	0,2
						1,6	1,0			0,1	0,1
	0,75						0,1	0,1
	1,75						0,1	0,1
	1,2	0,5			1,25	1,0			0,2	0,2

 

Схема 8

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		0,5				2,0	0,5			0,2	0,2
	1,0	0,5					0,2	0,2
	1,0						0,2	0,2
	0,75	0,25			1,0	0,5			0,2	0,2
		0,75				2,25	0,75			0,1	0,2
	1,25	0,75					0,1	0,1
	1,25						0,1	0,2
	1,0	0,3			1,25	0,75			0,1	0,2
		1,0				1,6	1,0			0,1	0,1
	1,35	1,0					0,1	0,1
	1,5						0,1	0,1
	1,2	0,5			1,25	1,0			0,2	0,2

 

Схема 9

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5				2,0	0,5			0,2	0,2
	0,5				1,25				0,2	0,2
	1,0	0,5					0,2	0,2
	0,75	0,25			1,0	0,5			0,2	0,2
		1,75				2,25	0,75			0,1	0,2
	1,0				1,5	0,75			0,1	0,1
	1,25	0,75					0,1	0,2
	1,0	0,3			1,25	0,75			0,1	0,2
		1,0				1,6	1,0			0,1	0,1
	0,75				0,8	0,5			0,1	0,1
	1,5	1,0					0,1	0,1
	1,2	0,5			1,25	1,0			0,2	0,2

 

Схема 10

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
								0.1	0.2
							0.1	0.3
									0.1	0.4
							0.2	0.4
								0.1	0.2
							-1	-0.3
							0.1	0.4	0.1	0,3
							0.2	0.4
								0.1	0.2
							0.1	0.3
									0,1	0,4
							0.2	0.4

Схема 11

 

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5				2,0	0,5			0,2	0,2
	0,5				1,0	0,5			0,2	0,2
	1,5						0,2	0,2
	0,75	0,25					0,2	0,2
		1,75				2,25	0,75			0,1	0,1
	0,75				1,25	0,75			0,1	0,2
	1,75						0,1	0,2
	1,0	0,3					0,1	0,2
						3,25	1,0			0,1	0,1
	0,75				1,5	1,0			0,1	0,1
	1,75						0,2	0,2
	1,2	0,5					0,1	0,1

Схема 12

 

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5				2,0	0,5			0,2	0,2
	0,5				1,0	0,5			0,2	0,2
	1,5						0,2	0,2
	0,75						0,2	0,2
		1,75				2,25	0,75			0,1	0,1
	0,75				1,25	0,75			0,1	0,2
	1,75						0,1	0,2
	1,0						0,1	0,2
						3,25	1,0			0,1	0,1
	0,75				1,5	1,0			0,1	0,1
	1,75						0,2	0,2
	1,2						0,1	0,1

Схема 13

Х

 

---

---

№ Варианта

Звено

Длина, м

Угол поворота, град

Перемещение, мм

Общ

Расч

Общ

Расч

1,5

2,0

0,5

0,2

0,2