Понятие предела для векторов и матриц

Пусть дана последовательность векторов

 

; ; … (3.1)

 

с координатами ; … . Если у каждой координаты существует предел , т.е.

…, …, …, …

то вектор называется пределом последовательности векторов .

Аналогично, если имеется последовательность квадратных матриц

 

;

; (3.2)

 

…;

 

.

 

с элементами a_ij ⁽¹⁾, …, a_ij ^(k); где i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n; то пределом последовательности матриц А ⁽¹⁾, …, А ^{( k )} называется матрица с элементами

.

Сама же последовательности А^{( 1)},..., А ^{( k )} называется сходящейся к А, т.е.

 

А ^{( k )} = А

или

.

Из сказанного выше следует следующее утверждение:

Если последовательность матриц А ⁽¹⁾, …, А^{(k )} имеет пределом собственную матрицу А и вектора В ⁽¹⁾,…, В ^{( k )} сходятся к В, то решения систем А ⁽¹⁾ Х = В ⁽¹⁾, …, А ^{( k )} Х = В ^{( k )} имеют предел, являющийся решением системы АХ = В, т.е.

Х ^{( k )} = (А ^{( k )})^-1 В ^{( k )} А ^-1 В.