Оценка погрешности приближенного процесса методом итерации

 

Если задана допустимая погрешность вычислений и Х_i – вектор точных значений неизвестных линейной системы, а Х_i ^{( k )} – есть k приближение значений неизвестных, вычисленное методом итераций, то для оценки погрешности || Х_i - Х_i ^{( k )}|| £ метода применяется формула

 

. (3.8)

 

где || a || – одна из трех норм матрицы a, || b || – та же норма вектора b, а k – число итераций, необходимое для достижения заданной точности.

При этом предполагается, что последовательное приближение Х_i ^{( j )} (где j = 0, 1, 2, 3, …, k; i = 1, 2, …, n) вычисляется точно, в нем отсутствуют погрешности округления.

 

Пример. Методом последовательного приближения решить систему

 

1. Приведем данную систему к нормальному виду

 

 

; .

 

2. Строим последовательные приближения.

 

Нулевое:

.

Первое:

 

.

 

 

Второе:

 

.

 

 

Третье:

.

 

С точностью 10^-1 получаем х ₁ = 3, х ₂ = 1, х ₃ = 1.

Итерационный процесс сходится, т.к.

 

;

 

.

Процесс итераций заведомо сходится, если элементы матрицы a удовлетворяют неравенству | a_ij | < 1/ n, где n - число неизвестных данной системы.

В нашем примере n = 3, | a_ji | < 1/3. Используя норму ,

|| a|| ₂ = max (0,4; 0,325; 0,325)=0,421.

Соответствующая матрица || b ||₂ = (3,25 + 1,4 + 1,4) = 6,05.

Применяя формулу

при ε =10^-4, получим

.

или , значит итераций.

 

ЛЕКЦИЯ 4. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ