2017-12-14
591
В общем виде система m линейных уравнений с n неизвестными записывается так:
(1.1)
Уравнения системы считаются пронумерованными: первое, второе, 
- е, 
– неизвестные, 
– коэффициенты при неизвестных.
Коэффициент при неизвестном 
в i – уравнении обозначается через 
, j – номер неизвестного.
Кратко система (1.1) может быть записана:
, (i = 1, 2, …, m). (1.2)
Решением системы линейных уравнений называется любая совокупность чисел 
, которая, будучи подставленной на место неизвестных 
в уравнение данной системы, обращает все эти уравнения в тождества. Система (1.1) – совместная, если она имеет решение. Если система не имеет решений, то она называется несовместной или противоречивой.
Совместная система линейных уравнений может иметь одно или несколько решений. Она называется определенной, если имеет одно решение, и неопределенной, если имеет больше одного решения.
Две системы линейных уравнений с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными, если они обе несовместны или совместны и имеют одни и те же решения.
|
|
|
Пусть дана определенная система n линейных уравнений (1.1). Пользуясь матричными обозначениями её, можно заменить следующим:
, (1.3)
где матрица системы
; (1.4)
вектор-столбец неизвестных
; (1.5)
вектор-столбец свободных членов
. (1.6)
Матричные уравнения
Рассмотрим три вида матричных уравнений.
1. Уравнение вида . Умножим обе части уравнения на 
слева:
, где 
. (1.7)
Пример: 
или 
.
Находим обратную матрицу 
. 
- детерминант матрицы A.
- алгебраическое дополнение к матрице A.
; 
.
2. Матричное уравнение вида:
(1.8)
Умножим обе части уравнения на справа.
Пример: Решить матричное уравнение
.
Решение:
~ 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
;
Матричное уравнение третьего вида:
. (1.9)
Для его решения умножим обе части уравнения слева на , а справа на 
, тогда получим
;
.
Пример: Решить матричное уравнение
.
Решение:
; 
; 
;
; 
; 
;
.
Находим сначала 
, а затем и искомое решение матричного уравнения
; 
; 
;
.
ЛЕКЦИЯ 2. ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)
СЛАУ допускают как точные, так и приближенные методы решения.
К точным относятся метод Крамера, метод Гаусса и метод обратной матрицы.
К приближенным методам относятся: метод простой итерации, метод последовательных приближений и метод Зейделя.
