Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Действительно, известно, что Е = - grad j. В то же время согласно теореме Гаусса
.
Подставим в (11.22) E из (11.7). Получим
.
Вынесем минус за знак дивергенции
.
Вместо того чтобы писать gradj, запишем его эквивалент Ñj. Вместо div напишем Ñ. Тогда
или (11.27)
Уравнение (11.27) называется уравнением Пуассона. Частный вид уравнения Пуассона, когда ρсвб=0, называется уравнением Лапласа. Уравнение Лапласа запишется так:
. (11.28)
Оператор называют оператором Лапласа или лапласианом и иногда обозначают еще символом D. Поэтому можно встретить иногда и такую форму записи уравнения Пуассона:
.
Раскроем в декартовой системе координат. С этой целью произведение двух множителей Ñ и запишем в развернутом виде
.
Произведем почленное умножение и получим
.
Таким образом, уравнение Пуассона в декартовой системе координат запишется следующим образом:
|
|
. (11.29)
Уравнение Лапласа в декартовой системе координат
. (11.30)
Приведем без вывода выражения Ñ2j в цилиндрической системе координат
, (11.31)
в сферической системе координат (11.32)
Уравнение Пуассона дает связь между частными производными второго порядка от j в любой точке поля и объемной плотностью свободных зарядов в этой точке поля. В то же время потенциал j в какой-либо точке поля зависит, разумеется, от всех зарядов, создающих поле, а не только от величины свободного заряда, находящегося в данной точке.
Уравнение Лапласа (1780 г.) первоначально было применено для описания потенциальных полей небесной механики и впоследствии было использовано для описания электрических полей. Уравнение Пуассона применяется к исследованию потенциальных полей (электрических и магнитных) с 1820 г.
Рассмотрим вопрос о том, как в общем виде может быть записано решение уравнения Пуассона. Пусть в объеме V есть объемные (r), поверхностные (s) и линейные (t) заряды. Эти заряды представим в виде совокупностей точечных зарядов rdV, sds, tdl; dV — элемент объема, ds —элемент заряженной поверхности, dl — элемент длины заряженной оси. Составляющая потенциала dj в некоторой точке пространства, удаленной от rdV на расстояние R, в соответствии с формулой (11.20) равна
.
Составляющие потенциала от поверхностного и линейного зарядов, рассматривая их как точечные, определим аналогичным образом:
и .
Полное значение j определится как сумма (интеграл) составляющих потенциала от всех зарядов в поле:
. (11.33)
В формуле (11.33) r,s и t есть функции радиуса R. Практически формулой (11.33) пользуются редко, так как распределение s по поверхности, t по длине и r по объему сложным образом зависит от конфигурации электродов и, как правило, перед проведением расчета неизвестно. Другими словами, неизвестно, как r, s и t зависят от радиуса R.
|
|
Граничные условия
Под граничными условиями понимают условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред с различными электрическими свойствами. При изучении раздела «переходные процессы» исключительно большое значение имел вопрос о начальных условиях и о законах коммутации. Начальные условия и законы коммутации позволяли определить постоянные интегрирования при решении задач классическим методом. В классическом методе они использовались в явном виде, в операторном методе - в скрытом. Без использования их нельзя решить ни одной задачи на переходные процессы.
Можно провести параллель между ролью граничных условий в электрическом (и в любом другом) поле и ролью начальных условий и законов коммутации при переходных процессах. При интегрировании уравнения Лапласа (или Пуассона) в решение войдут постоянные интегрирования. Их и определяют, исходя из граничных условий. Прежде чем перейти к подробному обсуждению граничных условий, рассмотрим вопрос о поле внутри проводящего тела в условиях электростатики.