Условия на грани раздела двух диэлектриков с различными электрическими проницаемостями

На грани раздела двух диэлектриков выполняются два следующих условия:

1. Равны тангенциальные составляющие напряженности поля

E_1t=E_2t. (11.36)

2. Равны нормальные составляющие электрической индукции

D_1n=D_2n. (11.37)

Индекс 1 относится к первому диэлектрику, индекс 2—ко второму.

Первое условие вытекает из того, что в потенциальном поле по любому замкнутому контуру. Второе условие представляет собой следствие теоремы Гаусса. Покажем справедливость первого условия. С этой целью выделим плоский замкнутый контур mnpqm (рис. 11.11) и составим вдоль него циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Верхняя сторона контура расположена в диэлектрике с электрической проницаемостью e₂, нижняя — в диэлектрике с e₁. Длину стороны mn, равную длине стороны pq, обозначим dl. Контур возьмем так, что размеры nр и qm бесконечно малы по сравнению с dl. Поэтому составляющими интеграла вдоль вертикальных сторон в силу их малости пренебрежем. Составляющая на пути mn равна Е₂ dl₂ = E_2tdl, по пути pq Е₁ dl₁ = -E_1tdl. Знак минус появился как следствие того, что элемент длины на пути pq и касательная составляющая вектора E₁ направлены в противоположные стороны (cos 180°= —1).

Таким образом, или Е_1t=Е_2t. Убедимся в справедливости второго условия. С этой целью на грани раздела двух сред выделим очень малых размеров параллелепипед (рис. 11.12). Внутри выделенного объема есть связанные заряды, и нет свободных (случай наличия свободных зарядов на грани раздела рассмотрим отдельно), поэтому

.

Поток вектора D через верхнюю грань площадью ds равен D₂ds₂= D_2nds.

Рис.11.11. Тангенциальные составляющие вектора E на границе раздела двух диэлектриков.

Поток через нижнюю грань D₁ds₁ = - D_1nds;

| ds₁ | = | ds₂ | = ds.

Следовательно,

или

D_1n=D_2n.

При наличии на грани раздела двух сред свободных зарядов с плотностью s (это встречается весьма редко)

,

т. е. при этом

D_2n- D_1n= s. (11.38)

Рис.11.12. Нормальные составляющие вектора D на границе раздела двух диэлектриков.

Другими словами, при наличии на грани раздела двух сред свободных зарядов нормальная составляющая вектора D скачком изменяется на величину плотности свободных зарядов на грани раздела.

Потенциал есть функция непрерывная, поэтому на границе раздела двух сред потенциал не претерпевает скачков.