Примеры решения задач. Ноу впо институт законоведения и управления

НОУ ВПО ИНСТИТУТ ЗАКОНОВЕДЕНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ

ВСЕРОССИЙСКОЙ ПОЛИЦЕЙСКОЙ АССОЦИАЦИИ

 

КАФЕДРА ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН И

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

 

МАТЕМАТИКА

 

Методические указания для выполнения контрольно-курсовой работы

для студентов заочной формы обучения

(1 семестр)

Тула 2014

Составил: доцент,

кандидат физико-математических наук К.Н. Рождественский

Методические указания для выполнения контрольно-курсовой работы по дисциплине «Математика» для студентов заочной формы обучения обсуждены и одобрены на заседании кафедры естественно – научных дисциплин и информационных технологий

 

«9»октября 2014; протокол № 2.

 

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ

КОНТРОЛЬНО-КУРСОВОЙ РАБОТЫ

 

Настоящее пособие предназначено для студентов заочного отделения института законоведения и управления Всероссийской полицейской ассоциации. ККР охватывает следующие темы курса математики: «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии», «Введение в математический анализ».

Пособие содержит задания по выполнению ККР, краткий теоретический и справочный материал, а также решения некоторых задач, тщательный разбор которых поможет студенту-заочнику выполнить данную работу. Контрольная работа составлена по десятивариантной системе. В качестве методического руководства также следует рассматривать рабочую тетрадь, работа с которой позволит студентам-заочникам повысить степень своей подготовленности по каждой теме курса математики.

ККР должна быть выполнена в отдельной 12-ти страничной тетради в клетку. На обложке тетради должны быть указаны фамилия студента, его инициалы, полный учебный шифр (номер зачетной книжки), номер варианта контрольной работы, название дисциплины. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании по варианту. Работы, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.

Задачи ККР следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать ее условие.

Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

Чертежи и графики должны быть выполнены с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. Объяснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на чертеже.

Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице оставлять поля шириной 2–3 см.

После получения рецензии на сданную на проверку работы студент должен исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Поэтому рекомендуется при выполнении ККР оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента.

Вносить исправления в текст работы после ее рецензирования запрещается.

Студент выполняет вариант контрольной работы, совпадающий с последней цифрой его учебного шифра. Требуется представить решение семи указанных ниже задач. Таким образом, например, студент, имеющий шифр ***6, должен решить задачи №№1(а,б,в,г,д), 2, 3(а,б,в), 4(а,б,в), 5(а,б,в,г) с данными под №6.

 

График выполнения контрольной работы

Выдача	Установочная сессия
Сдача	Не позднее 10 дней до зачёта[1]
Контроль	Зачет

 

Задания контрольно-курсовой работы по математике

Задача 1.

Даны вершины треугольника АВС.

Найти: а) длину стороны АВ;

б) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;

в) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01;

г) уравнение высоты СD и ее длину;

д) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр.

Построить чертеж.

№ варианта	Данные
1.	А(–5; 0), В(7; 9), С(5; –5).
2.	А(–7; 2), В(5; 11), С(3; –3).
3.	А(–5; –3), В(7; 6), С(5; –8).
4.	А(–6; –2), В(6; 7), С(4; –7).
5.	А(–8; –4), В(4; 5), С(2; –9).
6.	А(0; –1), В(12; 8), С(10; –6).
7.	А(–6; 1), В(6; 10), С(4; –4).
8.	А(–2; –4), В(10; 5), С(8; –9).
9.	А(–3; 0), В(9; 9), С(7; –5).
10.	А(–9; –2), В(3; 7), С(1; –7).

 

Задача 2.

Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А (х ₁; у ₁) и до прямой равно числу ε. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

№ варианта	Данные
1.	А (4; 0), а = 9, .
2.	А (–8; 0), а = –2, .
3.	А (4; 0), а = 1, .
4.	А (9; 0), а = 4, .
5.	А (–1; 0), а = –4, .

 

Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (х ₁; у ₁) равно расстоянию до прямой . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

№ варианта	Данные
6.	А (2; 1), b = –1.
7.	А (–2; –2), b = –4.
8.	А (2; –1), b = 2.
9.	А (2; –1), b = 1.
10.	А (4; –1), b = 1.

Задача 3.

В вариантах 1–10 даны координаты точек А, В, С. Требуется:

а) записать векторы и и найти модули этих векторов;

б) найти угол между векторами и ;

в) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору и изобразить ее на чертеже, используя уравнение плоскости «в отрезках».

№ варианта	Данные
1.	А(7; –4; 1), В(12; –3; 1), С(10; 1; 5).
2.	А(0; –3; 3), В(5; –2; 3), С(3; 2; 7).
3.	А(–2; –1; –2), В(3; 0; –2), С(1; 4; 2).
4.	А(–6; 0; 0), В(–1; 1; 0), С(–3; 5; 4).
5.	А(–2; –3; –8), В(3; –2; –8), С(1; 2; –4).
6.	А(1; 0; –1), В(6; 1; –1), С(4; 5; 3).
7.	А(–1; 4; 1), В(4; 5; 1), С(2; 9; 5).
8.	А(3; –6; –3), В(8; –5; –3), С(6; –1; 1).
9.	А(1; 0; 0), В(6; 1; 0), С(4; 5; 4).
10.	А(2; –8; –2), В(7; –7; –2), С(5; –3; 2).

 

Задача 4.

Систему уравнений записать в матричной форме и решить: а) с помощью обратной матрицы, б) с помощью правила Крамера и в) методом Гаусса.

 

1 вариант. 2 вариант.

3 вариант. 4 вариант.

5 вариант. 6 вариант.

7 вариант. 8 вариант.

9 вариант. 10 вариант.

 

Задача 5.

Найти указанные пределы.

 

№ варианта	Задания для выполнения
1.	а) ; б) ; в) .
2.	а) ; б) ; в)
3.	а) ; б) ; в) .
4.	а) ; б) ; в) .
5.	а) ; б) ; в) .
6.	а) ; б) ; в) .
7.	а) ; б) ; в) .
8.	а) ; б) ; в) .
9.	а) ; б) ; в) .
10.	а) ; б) ; в) .

 

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1.

Д аны вершины треугольника АВС: А (–4; 8), В (5; –4), С (10; 6).

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01;

4) уравнение высоты СD и ее длину;

5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр.

 

Решение.

1). Расстояние между точками и определяется по формуле:

. (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

.

 

2). Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид:

. (2)

Подставив в (2) координаты точек A и B, получаем:

 

Для нахождение углового коэффициента прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у: . Отсюда .

Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, получим уравнение прямой АС.

Отсюда .

 

3). Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны и , определяется по формуле:

. (3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее , .

,

рад.

 

4). Так как высота перпендикулярна стороне , то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.

.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном угловым коэффициентом направлении, имеет вид:

. (4)

Подставив в (4) координаты точки С и , получим уравнение высоты :

. (5)

Для нахождения длины определим координаты точки , решив систему уравнений (АВ) и ():

откуда , то есть .

Подставив в формулу (1) координаты точек С и , находим:

.

 

5). Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид:

. (6)

Так как является диметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка . Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

Следовательно, и . Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности:

.

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат изображен треугольник , высота , окружность с центром в точке Е.

 

 

 

Задача 2.

Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки и до прямой равно числу . Полученное уравнение привести к каноническому виду и построить кривую.

Решение.

Пусть – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр на прямую (рис. 2). Тогда . По условию задачи . По формуле (1) из предыдущей задачи

.

Тогда

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида , где .

Определим фокусы эллипса и . Для эллипса справедливо равенство , откуда и . То есть и – фокусы эллипса (точки и А совпадают).

у

М В

F ₁ А

 

-6 –3 0 3 6 12 х

 

 

Рис. 2

 

Задача 3.

Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки и до прямой равно числу .

Решение.

Пусть – произвольная точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр на прямую и определим координаты точки В (рис. 3). Очевидно, что абсцисса точки равна (так как точка В лежит на прямой ), а ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, имеем: .

 

у

 

3 В М

 

 

–4 0 4 А х

 

-3

 

Рис. 3

По условию задачи ; так как

, то получаем:

Полученное уравнение представляет собой гиперболу вида , где .

 

Задача 4.

Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки равно расстоянию до прямой . Полученное уравнение привести к каноническому виду и построить кривую.

Решение.

– текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую (рис. 4). Тогда . Так как , то

или

y У’

2 B

0 3 х

Х’

–4 А

M

 

 

Рис. 4

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке . Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду положим , . Тогда в системе координат уравнение параболы принимает следующий вид: . В системе координат строим параболу.

 

Задача 5.

Даны координаты трех точек: А (3; 0; –5), В (6; 2; 1), С (12; –12; 3).

Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

Решение.

1) Если даны точки и , то вектор через орты выражается следующим образом:

.

Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

.

Аналогично

.

Модуль вектора вычисляется по формуле

.

Подставляя в формулу найденные ранее координаты векторов и , находим их модули:

,

.

2) Косинус угла , образованного векторами и , равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

.

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений одноименных координат, то

.

Тогда

.

3) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

.

По условию задачи искомая плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору . Подставляя , получим:

– искомое уравнение плоскости.

Перенеся свободный член -30 в правую часть тождества и разделив на 30 все члены выражения, получим уравнение плоскости «в отрезках», где числа, стоящие в знаменателях есть координаты точек пересечения искомой плоскости и осей координат:

.

Строим чертеж.

 

Задача 6, а. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

 

Решение.

Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных ; Н – матрицу-столбец свободных членов:

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

. (1)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу . Умножив обе части уравнения (1) на , получим:

. (2)

Но (Е – единичная матрица), а , поэтому

.

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу .

Пусть имеем невырожденную матрицу

. Тогда ,

где – алгебраическое дополнение элемента в определителе матрицы А, которое является произведением на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием -ой строки и -го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения элементов матрицы А.

– следовательно матрица А имеет обратную матрицу .

Тогда .

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Откуда получаем решение

Задача 6, б. Решить систему по формулам Крамера

 

Решение.

 

Задача 6, в. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса, выполнить проверку: . (2)

Решение.

Составим расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования, указанные в методе Гаусса.

Метод Гаусса решения системы (2) состоит в следующем:

Разделим все члены первого уравнения на , а затем, умножив полученное уравнение на , вычтем его соответственно из второго и третьего уравнений системы (2). Тогда из второго и третьего уравнений неизвестное будет исключено, и получится система вида:

 

(3)

 

Теперь разделим второе уравнение системы (3) на , умножим полученное уравнение на и вычтем из третьего уравнения. Тогда из третьего уравнения неизвестное будет исключено и получится система треугольного вида:

 

(4)

 

Из последнего уравнения системы (4) находим . Подставляя найденное во второе уравнение, находим . Наконец, подставляя найденное значение в первое уравнение, находим .

 

Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений:

,

равносильная исходной.

Из этой системы последовательно находим:

Таким образом: .

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему:

,

Каждое уравнение системы обращается в верное равенство, следовательно, – единственное решение системы.

Задача 7.

Вычислить пределы:

а) ; б) ; в) .

 

Решение.

а) Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенному выражению вида .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель . Такое сокращение возможно, так как множитель отличен от нуля при :

 

б) При выражение дает неопределенность вида . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на :

 

в) Обозначим . Тогда и при . Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела , имеем:

СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ

Определители

1. Определителем 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле

,

где а_ij называется элементом определителя; первый индекс i указывает номер строки, а второй индекс j – номер столбца.

2. Определителем 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле (правило треугольников)

 

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а_{23 =} а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₂₁ а₃₂ а₁₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ – а₃₁ а₂₂ а₁₃ – а₂₁ а₁₂ а₃₃ –

а₃₁ а₃₂ а₃₃ -а₃₂ а₂₃ а₁₁ .

3. Минором М_ij элемента а_ij определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания элементов i -ой строки и j -го столбца (на пересечении которых находится элемент а_ij).

4. Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij данного определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком (–1) ^i+j, т.е. А_ij = (–1) ^i+j· М_ij.

Ø ê= а_i1 А_i1 + а_i2 А_i2 + …+ а_in А_in =

(разложение по элементам i -й строки, i = 1, 2,…, n);

Ø ê= а_1j А_{1 j} + а_{2 j} А_{2 j} + …+ а_nj А_nj =

(разложение по элементам j -го столбца, j = 1,2,.., n).

Свойства определителей

1. Замена всех строк соответствующими столбцами (транспонирование) не меняет значение определителя.

В дальнейшем строку или столбец будем называть рядом определителя.

2. Перестановка двух параллельных рядов меняет знак определителя.

3. Общий множитель всех элементов какого-нибудь ряда можно выносить за знак определителя.

4. Если все элементы какого-нибудь ряда равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель с двумя пропорциональными (равными) параллельными рядами равен нулю.

6. Сумма произведений элементов какого-нибудь ряда на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю.

7. Определитель не изменится, если к элементам какого-нибудь ряда прибавить элементы параллельного ряда, предварительно умноженные на одно и то же число.