Матрицы, операции над ними

1. Матрицей размера m ´ n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, будем называть элементами матрицы а_ij, где i – номер строки, j – номер столбца или, в сокращенной записи, А =(а_ij); i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n.

Виды матриц

1) Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой (вектором-строкой), а из одного столбца – матрицей-столбцом (вектором-столбцом):

А = (а₁₁; а₁₂, …, а_1n) – матрица-строка;

1´ n

b₁₁

В = b₂₁ – матрица-столбец

… m ´ 1

b_m1

 

2) Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов.

3) Квадратная матрица А называется невырожденной, если 0.

4) Квадратная матрица называется диагональной, если все ее недиагональные элементы равны нулю.

5) Диагональная матрица называется единичной, если все диагональные элементы равны единице, и обозначается Е.

6) Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю, и обозначается (0).

7) Матрица А называется треугольной (ступенчатой, если m n), если ниже ее главной диагонали все элементы равны нулю.

 

Операции над матрицами

В = l· А bij = l аij,

1. Произведением матрицы А на число l называется матрица В, все элементы которой умножаются на l, т.е.

где i = 1, 2, …, m; j = 1, 2,…, n.

2. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m ´ n называется матрица С, элементы которой c_ij = а_ij+ b_ij, т.е.

	С = А + В cij = аij+ bij

 

где i = 1, 2,…, m; j = 1, 2 ,…, n,

причем А+В = В+А; (А+В)+С = А+(В+С); l(А+В) = lА+lВ.

3. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А – В = А + (–1)· В

4. Произведением матрицы А размера (m ´ k) на матрицу В размера (k ´ n) называется матрица С размера (m ´ n), элемент которой

с_ij = а_isb_sj, для i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n; т.е.

	А·В = С cij = аi1b1j + аi2b2j+…+ аiкbкj m´k k´n m´n

 

 

Свойства умножения матриц

1) А·В В·А – (в общем случае)

2) (А·В)·С = А·(В·С) – сочетательный закон.

3) l (А·В) = (lА) В = А·(lВ)

4) А·(В+С) = А·В + А·С

5) А·Е = Е·А = А,

где Е – единичная матрица того же размера, что и матрица А.

6) Если С = А·В, то С = А· В, где А и В квадратные матрицы.

 

5. Целой положительной степенью А^m (m >1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е. А^m = А·А·…·А

m раз

6. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице А^Т, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А^Т называется транспонированной относительно матрицы А.

7. Матрица А ^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т.е. А ^-1 ·А = А·А ^-1 = Е.