Теоретичні основи вивчення диференціальних рівнянь

Навчальна програма вивчення курсу «Диференціальні рівняння» для студентів фізико-математичного факультету вищих навчальних педагогічних закладів

I. Загальні відомості

Дисципліна «Диференціальні рівняння» є однією з основних дисциплін циклу природничо-наукової (фундаментальної) підготовки студентів.

II. Перелік дисциплін, знання яких необхідне для вивчення курсу

Для оволодіння курсом студент повинен опонувати розділами диференціального і інтегрального числення з курсу математичного аналізу, алгеброю та геометрією.

III. Цілі і завдання дисципліни

Основні цілі вивчення дисципліни:

— оволодіння студентами основними поняттями, методами теорії звичайних диференціальних рівнянь, варіаційного числення та технікою розв’язання прикладних задач;

— систематично викласти основи теорії диференціальних рівнянь та варіаційного числення під кутом їхнього практичного застосування;

— виробити у студентів логічне й алгоритмічне мислення, необхідне для розв’язання теоретичних та практичних задач за фахом;

— прищепити навички дослідження динамічних математичних моделей практичних задач, їх розв’язання та вміння аналізувати отримані результати.

Головна задача вивчення навчальної дисципліни:

— опанувати сучасними математичними методами диференціальних рівнянь і варіаційного числення, які дозволяють розв’язувати теоретичні та практичні задачі;

— навчити формалізувати прикладну задачу і приводити її до типових сучасних задач теорії диференціальних рівнянь і варіаційного числення.

Після вивчення курсу:

Ø студент повинен знати формулювання основних означень, понять, теорем, та їх доведення в межах програми, основні методи розв’язування диференціальних рівнянь;

Ø студент повинен вміти застосовувати теоретичний матеріал до розв'язання задач і прикладів, які пропонуються як у даному курсі, так і в процесі подальшого навчання.

Набуті знання використовуються в чисельних методах, чисельних методах системного аналізу, методах оптимізації, теорії керування, основах системного аналізу.

Знання з даного курсу будуть використовуватися при вивченні рівнянь із частинними похідними, варіаційного числення, спеціальних курсів, написання курсових, кваліфікаційних та дипломних робіт.

IV. Методи навчання та інформаційно-методичне забезпечення

Основними методами навчання є лекції та практичні заняття, на яких закріплюються та відпрацьовуються основні теоретичні положення та вміння їх застосовувати до розв’язання практичних та прикладних задач.

V. Форми оцінювання

Іспит, залік, колоквіум, контрольні роботи

VI. Зміст дисципліни

№ п/п	Зміст програмного матеріалу	Літе-ратура	Кількість годин	Кален-дарні строки
Лекції	Прак-тичні заня-ття	Самос-тійна робота
ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ І
1.	Основні означення. Задачі, які приводять до звичайних диференціальних рівнянь. Геометричний зміст диференціального рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюючими змінними.	[3, 2, 9, 12]
2.	Однорідні рівняння першого порядку. Рівняння, які зводяться до однорідних.	[3, 4, 5, 12]
3.	Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Метод варіації довільної змінної. Рівняння Бернуллі. Метод Бернуллі.	[3, 4, 5, 12]
4.	Диференціальне рівняння у повних диференціалах. Інтегруючий множник.	[3, 4, 9, 11]
ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ ІІ
5.	Диференціальні рівняння, які не розв’язуються відносно похідної. Рівняння Лагранжа. Рівняння Клеро.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]
6.	Диференціальні рівняння вищих порядків. Методи пониження порядків.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]
ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ ІІІ
7.	Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків. Однорідні лінійні рівняння. Основні властивості однорідних лінійних рівнянь.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]
8.	Лінійно залежні функції. Вронскіан. Властивості Вронскіана.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]
9.	Лінійні однорідні рівняння ого порядку. Характеристичне рівняння. Корені характеристичного рівняння: 1) дійсні різні; 2) дійсні кратні; 3) комплексні. Загальні розв'язки рівнянь.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]
10.	Лінійні неоднорідні рівняння ого порядку з постійними коефіцієнтами. Метод варіації довільних постійних.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]
11.	Лінійні неоднорідні рівняння ого порядку із постійними коефіцієнтами. Метод невизначених коефіцієнтів.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]
ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ ІV
12.	Системи звичайних лінійних рівнянь. Зведення лінійних рівнянь до лінійних рівнянь вищого порядку.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]
13.	Системи звичайних лінійних однорідних рівнянь. Характеристичне рівняння. Корені характеристичного рівняння: 1) дійсні різні; 2) дійсні кратні; 3) комплексні.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]
14.	Системи звичайних лінійних неоднорідних рівнянь. Метод невизначених коефіцієнтів.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]
ВСЬОГО

VII. Література до курсу:

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

2. Еругин Р.П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Ляшко И.И. и др. Дифференциальные уравнения.

4. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

5. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.

6. Кисилев А.И., Краснов М.А., Макаренко Т.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

7. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений.

8. Самойленко Ф.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи.

9. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.

10. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

11. Филиппов А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

12. Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations