2017-12-14
303
Таблица основных интегралов
1. 
(
, 
– const, 
)
2. 
(для любого 
)
2.1. 
2.2. 
3. 
4. 
(, 
, 
)
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
()
11. 
()
12. 
13. 
При интегрировании используются свойства интегралов.
Свойства интегралов
1) 
2) 
, в частности, 
, 
3) 
, где 
4) 
Таблицу интегралов и свойства необходимо выучить наизусть.
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям.
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрированиесостоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также, используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример. 
.
(Использованы свойства 3, 4; табличный интеграл 2, 
).
Правильность ответа проверяем дифференцированием:
.
Пример. 
.
(Свойства 3, 4; табличные интегралы 2.2 и 3).
Пример. 
.
(Свойства 3,4; табличные интегралы 1 и 7).
Метод замены переменной (подстановки)
|
|
|
Для вычисления интеграла 
сделаем замену 
, где 
выбирается так, чтобы после преобразований данного интеграла и новой переменной 
, получился интеграл, который берется непосредственно.
Предварительно находим 
, тогда
. (4)
После нахождения первообразной 
необходимо вернуться к первоначальной переменной «
».
Пример. 
.
Пример 18. 
.
Замечание. Следующие интегралы удобно решать указанной заменой:
, 
; 
;
, 
; 
;
, 
; 
.
Пример. 
,
т. к. 
.
Формулой (4) часто пользуются справа налево:
, 
. (5)
При этой замене надо помнить, что в составе подынтегрального выражения должен быть дифференциал функции 
.
Такой метод называется подведением под знак дифференциала
. (5’)
При использовании этого метода можно воспользоваться таблицей дифференциалов.
Таблица дифференциалов
1. 
, – const, ,
2. 
3. 
4. 
, , ,
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
,
11. 
,
Пример. 
.
Решение. Согласно таблице дифференциалов, 1, с. 7 
, положим 
, 
, , 
.
.
Пример. 
.
Решение. По таблице дифференциалов, 1, с. 7 , положим
, 
, , 
.
.
Пример. 
– можно найти двумя способами:
1 способ. 
;
2 способ. 
.
Пример. 
.
1 способ. 
;
2 способ. 
.
Пример. 
. (табл. интегр., 3, 
).
