Разложение правильной дроби

Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей вида 1 – 4.

Пусть дробь правильная. Разложим знаменатель дроби на множители. Найдем его корни, т. е. значения , при которых знаменатель обращается в нуль. Тогда многочлен разложится на множители:

, где

– действительные корни многочлена. Множитель не разложим на линейные множители, т. к. .

Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь. Укажем, какому множителю какая дробь соответствует:

, если .

,

если .

– пока неизвестные коэффициенты.

Разложить на простейшие дроби.

Пример. .

Пример.

– не имеет действительных корней, т. к. .

Пример.

.

Пример.

,

– не имеет действительных корней, т. к. .