2017-12-14
278
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
При помощи определенного интеграла можно вычислить площади плоских фигур, длины дуг, объемы тел вращения, а также решать другие задачи.
В зависимости от того, в какой системе координат решается задача и в каком виде задано уравнение кривой, выбирается нужная формула по таблице.
Для определения пределов интегрирования необходимо сделать чертеж. Затем подставить в формулу конкретные данные своей задачи и провести вычисления.
Пример. Вычислить площадь, ограниченную параболой 
и прямыми 
и 
.
Решение. Выполним чертеж. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (знак “-“ перед 
) и приподняты на 2 единицы (рис. 1). Искомая площадь симметрична относительно оси 
, следовательно, можно вычислить половину площади и удвоить результат, т.е. 
.
y
 |
2
 | |||
 | |||
1 x
Рис. 1
Для вычисления пределов интегрирования решим совместное уравнение параболы и прямой 
:
,
согласно формуле, получим:
|
|
|
; 
(кв. ед.).
Пример. Вычислить площадь, ограниченную линией
, 
.
Решение. В данной задаче чертеж выполнять необязательно, т. к. задано изменение параметра 
. Уравнение линии рассматривается в декартовых координатах, но имеет параметрический вид. Воспользуемся формулой
.
Пример. Вычислить площадь, ограниченную линией 
.
Решение. Так как уравнение линии, ограничивающей искомую площадь, задано в полярных координатах, то необходимо воспользоваться формулой для полярных координат. Пределы интегрирования не заданы, поэтому необходимо сделать чертеж (рис. 2). Линию построим по точкам, давая 
значения через равный промежуток, например, 
, начиная от 
до 
. Вычислим 
искомой площади.
 |
Рис. 2
(кв. ед.).
Пример. Найти длину дуги 
, отсеченную прямой 
.
Решение. Уравнение линий задано в декартовых координатах.
y Воспользуемся формулой 
.
