Интегрирование тригонометрических выражений

1. решается универсальной подстановкой , , ; .

Пример 43.

В некоторых случаях полезнее использовать подстановки, которые дают лучший результат, чем при использовании универсальной подстановки.

2. Если в подынтегральном выражении при замене на и на функция не меняет своего знака, т. е. если

то применяют подстановку .

Пример.

3. Если , т. е. при замене на подынтегральная функция меняет знак, то подстановка .

Пример.

4. Если , т. е. при замене на подынтегральная функция меняет знак, то подстановка .

Пример. .

5. ; при – четном, ;

; при – нечетном по правилу 3 или 4.

Пример.

Пример. .

Пример.

6. ,

Пример. .

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ,

ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ

Если 1) и конечны;

2) непрерывна на и имеет первообразную , то определенный интеграл выражается конечным числом и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

. (7)

Пример. .

Интегралы а) ; б) ; в)

относятся к несобственным интегралам I-го рода, т. к. для них не выполнено условие (1), а именно: один из пределов интегрирования (случая а) и б)) или оба (случай в)) не являются конечными, а условие (2) выполнено. Вычисление таких интегралов можно проводить по формуле (21), при этом считается как предельное значение, которое может быть конечным, бесконечным или не иметь смысла.

Пример. .

Пример.

Пример. .

Если в результате вычислений получили конечное число, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл расходится.

Те интегралы , для которых не выполняется условие (2), а условие (1) выполнено, относятся к несобственным интегралам II-го рода. имеет бесконечный разрыв в одной или нескольких точках.

Вычисление несобственных интегралов II-го рода и определение их сходимости или расходимости можно проводить по формуле Ньютона-Лейбница, определив точки бесконечного разрыва.

Пример. ; ; эта функция имеет бесконечный разрыв на в точке , т. к. .