Краткие Теоретические положения. Расчет электрических цепей

Ю.С. Петров, Ю.П. Масков

 

 

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

 

 

Методические указания по выполнению

типовых расчетов и контрольных работ

 

Для студентов направления 140400

“Электроэнергетика и электротехника”

 

Владикавказ 2011

 

 

Министерство образования и науки РФ

 

Северо-Кавказский горно-металлургический институт

(государственный технологический университет)

 

 

Кафедра «Теоретической электротехники

и электрических машин»

 

Ю. С. Петров, Ю. П. Масков

 

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО

ТОКА

 

Методические указания по выполнению типовых расчетов

и контрольных работ

 

Допущено редакционно-издательским советом Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет)»

 

Владикавказ 2011

УДК 621.3

ББК 31.211

П30

 

Рецензент: д.т.н., проф. Васильев И.Е.

 

П30 Петров Ю.С. Расчет электрических цепей периодического несинусоидального тока: Методические указания по выполнению типовых расчетов и контрольных работ. Для студентов направления 140400 «Электроэнергетика и электротехника»/ Ю.С. Петров, Ю.П. Масков; Северо-Кавказский горно-металлур­гический институт (государственный технологический университет). - Владикавказ: Изд-во "Терек", 2011. -76 с.

Методические указания содержат краткие теоретические сведения по теории цепей несинусоидального тока, примеры анализа цепей различной сложности при действии на них источников э.д.с. несинусоидальной формы; дается методика проверок решений к приведенным примерам.

Методические указания предназначены для использования при изучении теории цепей несинусоидального тока, при выполнении расчетных заданий и контрольных работ по указанной тематике.

 

УДК 621.3

ББК 31.211

 

Редактор Хадарцева Ф.С.

Компьютерная верстка Крыжановская И. В.

 

Ó Северо-Кавказский горно-металлур­гический институт (государственный технологический университет), 2011

Ó Петров Ю.С., Масков С.П., 2011

 

Подписано в печать 11.10.11. Формат 60 х 84 ¹/₁₆. Бумага офсетная. Гарнитура “Таймс”. Печать на ризографе. Усл.п.л. 4,42. Тираж 50 экз. Заказ №_____

Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государс­твенный технологический университет). Изд-во “Терек”. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СКГМИ (ГТУ).

362021, г. Владикавказ, ул. Николаева, 44.

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение……………………………………………………… 1. Краткие теоретические положения……………………… 2. Расчет цепи несинусоидального тока при последовательном соединении резистора, индуктивности и емкости ………………………………………………………… 3. Расчет цепи несинусоидального тока при параллельном соединении резистора, индуктивности и емкости……… 4. Расчет цепи несинусоидального тока в общем случае… 5. Высшие гармоники в трехфазных цепях………………… 6. Пример выполнения типового задания по расчету цепи несинусоидального тока………………………………… 7. Задачи для самостоятельного решения………………… 8. Литература…………………………………………………

ВВЕДЕНИЕ

Во многих случаях по ряду причин кривые э.д.с., токов и напряжений в цепях периодического тока отличаются от синусоидальной формы и являются периодическими несинусоидальными функциями. Кроме того, в различных электротехнических устройствах автоматики, вычислительной техники, телемеханики и т.п. используются генераторы периодических импульсов различных типов. Вследствие этого расчет электрических цепей с периодическими несинусоидальными воздействиями имеет существенное практическое значение. Кроме того, расчет цепей периодического несинусоидального тока методически обогащает курс ТОЭ, т.к. способствует, с одной стороны, углублению знаний по основным методам расчета цепей и, с другой стороны, позволяет выполнить анализ цепей при широком спектре возмущающих воздействий.

Методические указания предназначены для использования при выполнении типовых расчетов электрических цепей несинусоидального тока студентами направления 140400 «Электроэнергетика и электротехника», контрольных работ заочников по соответствующей теме и практических занятий по ТОЭ и электротехнике.

Краткие теоретические положения

Несинусоидальная функция является периодической, когда она удовлетворяет условию:

 

(1)

 

где Т – период функции; k – целое число.

Всякая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Разложение периодической функции в тригонометрическиий ряд может быть записано в двух формах:

 

(2)

(3)

где , (4)

, (5)

(6)

(7)

причем угол y _n находится с учетом знаков а_n и b_n, определяющих знаки синуса и косинуса.

Коэффициенты ряда Фурье могут быть определены аналитически или графо-аналитически в зависимости от способа задания функции. Составляющие ряда называются гармониками.

Если в цепи действуют источники периодических несинусоидальных ЭДС и (или) источники периодических несинусоидальных токов, то расчет такой цепи начинается с разложения источников несинусоидальных ЭДС и источников несинусоидальных токов в ряд Фурье, причем на практике используют ограниченное число гармоник (до четырех – пяти первых составляющих ряда). На рис. 1 показан пример разложения несинусоидальной кривой тока i в сумму постоянной составляющей i ₍₀₎ = I ₀, первой i ₍₁₎ = I _1msin(ω₁ t + ψ₁), второй i ₍₂₎ = I _2msin(ω₂ t + ψ₂) и третьей i ₍₃₎ = I _3msin(ω₃ t + ψ₃) гармоник. В любой момент времени, например t ₁, алгебраическая сумма ординат функций, составляющих разложение, равна ординате исходной кривой: ad + ae – ab + ac = af.

 

t

а

t1

i

i(1)

i(2)

i(3)

Т

3/4Т

Т/2

Т/4

f

e

d

c

а) i, мА

b

0

-20

-40

-60

Рис. 1.

Представим несинусоидальную ЭДС, действующую в цепи, в виде ряда:

 

(8)

В случае линейных цепей применим принцип наложения, основываясь на котором можно определить мгновенное значение тока в некоторой ветви цепи как сумму мгновенных значений токов, вызываемых в этой ветви каждой составляющей ЭДС (Е ₀, е ₁, е ₂…) в отдельности, т.е.:

 

(9)

 

Аналогично определяется мгновенное значение напряжения в ветви:

 

(10)

 

Аналогичные правила распространяются и на определение мгновенных значений тока и напряжения ветви от действия источника несинусоидальной ЭДС, причем несинусоидальная ЭДС заменяется конечной суммой последовательно соединенных ЭДС, представляющих слагаемые ряда (например, четырех слагаемых на рис. 2).

а б

e(t) E₍₀₎ e₍₁₎ e₍₂₎ e₍₃₎

 

U₍₀₎ u₍₁₎ u₍₂₎ u₍₃₎

u(t) u(t)

 

r L C

i(t) r L C

 

Рис. 2. Электрическая цепь с последовательно включенными r, L, C, находящаяся под воздействием несинусоидальной периодической ЭДС (а); эквивалентная схема источника с несинусоидальной периодической ЭДС (б).

 

Расчет токов от каждой гармоники производят следующим образом. Сначала рассчитывают токи и напряжения, возникающие от действия постоянной составляющей ЭДС или источника тока, после этого – токи и напряжения от действия первой гармоники, затем от второй гармоники, от третьей и т. д.

При расчете токов и напряжений, возникающих от действия постоянной составляющей ЭДС, необходимо иметь в виду, что падение напряжения на индуктивности L от постоянного тока равно нулю, а также, что постоянный ток через емкость С не проходит.

При расчете следует учитывать зависимость реактивных сопротивлений от частоты. Индуктивное сопротивление х_L растет прямо пропорционально частоте, поэтому для k -ой гармоники х_Lk в k раз больше, чем для первой гармоники :

 

(11)

 

Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты, поэтому для k -ой гармоники х_Сk в k раз меньше, чем для первой гармоники :

(12)

 

Для каждой гармоники можно воспользоваться символическим методом и определить мгновенные и действующие значения токов ветвей для соответствующих гармоник.

Комплексное сопротивление ветви k -ой гармоники в общем случае:

(13)

 

Модуль и аргумент комплексного сопротивления равны соответственно:

(14)

(15)

 

Для каждой гармоники можно построить векторную диаграмму. Однако откладывать и складывать на векторной диаграмме токи и напряжения различных частот недопустимо, поскольку угловые скорости вращения векторов разных частот неодинаковы и, следовательно, взаимное расположение векторов будет зависеть от момента рассмотрения электрического состояния цепи.

Действующее значение несинусоидального тока или напряжения определяется в общем случае как соответствующее среднее квадратичное значение за период, например, для тока:

 

(16)

 

Подставляя в (16) ток в виде ряда Фурье и выполнив соответствующие действия, получим:

 

, (17)

 

т.е. действующее значение периодического несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник. Аналогично для напряжения:

 

. (18)

Активная мощность в цепи периодического несинусоидального тока определяется как среднее значение мощности:

 

(19)

Если вместо и и i подставить их выражения через тригонометрический ряд вида (8÷10), то интеграл разложится на ряд интегралов, дающих в результате сумму произведения постоянных слагающих напряжения и тока и средних значений произведений гармоник напряжения и тока одного и того же порядка, остальные интегралы будут равны нулю. Итак:

 

(20)

 

т.е. активная мощность периодического несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник плюс мощность постоянной составляющей. В цепях несинусоидального тока выполняется баланс между активной мощностью генераторов и потребителей.

Кроме понятия активной мощности Р по аналогии с синусоидальными токами вводится понятие полной мощности S, определяемой как произведение действующих значений тока и напряжения:

(21)

 

Формально можно ввести понятие реактивной мощности, определяемой как сумма реактивных мощностей отдельных гармоник:

(22)

Формально можно составить баланс между реактивными мощностями приемников и генератора для каждой частоты отдельно, т.е. для результатов расчетов частичных режимов по отдельным гармоникам. В отличие от синусоидального режима, сумма квадратов активной и реактивной мощностей в цепи с периодическими несинусоидальными величинами не равна квадрату полной мощности:

 

(23)

 

где Т – мощность искажения.

Величина Т характеризует степень различия в формах кривых напряжения и тока. Если сопротивление цепи активное, то кривые напряжения и тока подобны, при этом Q = 0 и Т = 0.

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности c и иногда приравнивают косинусу некоторого условного угла q:

 

(24)

 

Наличие высших гармоник в трехфазных цепях приводит к некоторым особенностям их работы. Гармоники порядка 1, 4, 7, 10, 13 и т. д. образуют системы напряжений прямой последовательности, гармоники 2, 5, 8, 11, 14 и т. д. образуют системы напряжений обратной последовательности. Наконец, гармоники 3, 6, 9, 12 и т. д. образуют системы напряжений нулевой последовательности. При наличии постоянной составляющей в напряжении каждой из фаз она может рассматриваться как нулевая гармоника порядка, кратного трем (k = 0), т. е. образующая нулевую последовательность.

При соединении обмоток трехфазного генератора или трехфазного трансформатора в треугольник по ним будут протекать гармоники, кратные трем, даже при отсутствии внешней нагрузки.

Если обмотки трехфазного генератора (или трансформатора) соединить в открытый треугольник, то при наличии в фазных ЭДС гармоник, кратных трем, на открытых зажимах треугольника будет напряжение, равное сумме ЭДС гармоник, кратных трем.

В линейном напряжении независимо от того, в звезду или треугольник

соединены обмотки генератора, отсутствуют гармоники, кратные трем. В фазовом напряжении могут присутствовать все гармоники, потому отношение U _л к U _ф может оказаться меньше . При соединении генератора и равномерной нагрузки в звезду и отсутствии нулевого провода токи третьих и других гармоник нулевой последовательности не могут протекать по линейным проводам.