2017-12-14
342
Методику расчета цепи несинусоидального тока при параллельном соединении резистора, индуктивности и емкости рассмотрим на конкретном примере.
Пример 3.1.
К цепи (рис. 3.1) приложено несинусоидальное напряжение: 
В; активное сопротивление R = 18 Ом; сопротивление реактивных элементов для первой гармоники: xL (1) = 3 Ом, xС (1) = 27 Ом;
i
| А |
| А3 |
| А2 |
| А1 |
| V |
i 1 i 2 i 3
R xL xC
u
Рис. 3.1.
Определить: входную проводимость схемы для каждой (первой и третьей) гармоники; действующие значения: приложенного напряжения U, тока в неразветвленной части цепи I; токов в параллельных ветвях I 1; I 2; I 3; законы изменения во времени токов: i; i 1; i 2; i 3; мощности: активные Р; Р 1; Р 2; Р 3; полную S; коэффициент мощности 
; активную мощность генератора РГ; показания приборов; проверить энергетический баланс по активным мощностям.
Решение
Так как цепь линейная (состоит из линейных элементов R; L; C), то для расчета используем метод наложения. Для расчета токов от каждой гармоники в отдельности воспользуемся символическим методом.
|
|
|
В общем случае комплекс действующего значения тока в неразветвленной части цепи для k -ой гармоники:
где 
- комплекс действующего значения напряжения k -ой гармоники;
- комплекс соответственно полной проводимости или полного сопротивления для k -ой гармоники.
В данном случае:
.
Комплексы токов в параллельных ветвях:
; 
;
,
где 
; 
; 
- комплексы проводимостей и сопротивлений для k -ой гармоники соответствующих ветвей схемы.
Расчет по первой гармонике, k = 1:
В.
Первая ветвь:
Ом,
Сим,
А.
Вторая ветвь:
Ом,
Сим,
А.
Третья ветвь:
Ом,
Сим,
А.
Законы изменения токов во времени:
А;
А;
А.
Ток первой гармоники в неразветвленной части цепи:
Мгновенное значение i (1) можно найти и как сумму i (1) = i 1(1) + i 2(1) + i 3(1), т.е.
В.
Полученное ранее выражение содержит одно слагаемое и более удобно для исследования.
Для методического разнообразия определим ток первой гармоники в неразветвленной ветви цепи через входную проводимость 
по первой гармонике:
следовательно 
(верно).
Для определения токов третьей гармоники также воспользуемся далее входной проводимостью для третьей гармоники.
k = 3 (третья гармоника):
В,
Ом,
Сим,
Ом,
Сим,
Ом,
Сим;
Сим,
т.е. на третьей гармонике резонанс токов.
Токи в ветвях:
А.
А.
А.
Ток третьей гармоники в неразветвленной части цепи (по I закону Кирхгофа):
или
А.
Ток в неразветвленной части цепи 
совпадает по фазе с приложенным напряжением (третьей гармоники), т.е. имеет место резонанс токов на третьей гармонике. Мгновенное значение этого тока:
|
|
|
А.
Законы изменения токов ветвей во времени:
А;
А;
А.
Токи в неразветвленной части цепи по гармоникам:
, 
.
Общий ток i = i (1) + i (3) или i ( t )= i 1( t ) + i 2( t ) + i 3( t ) является результатом сложения токов по гармоникам или по ветвям.
Так как непосредственное сложение мгновенных значений составляющих тока довольно затруднительно, то для определения тока в неразветвленной части схемы далее рационально воспользоваться результатами ранее выполненного расчета токов символическим методом.
А.
Для рассматриваемого случая токи в параллельных ветвях можно также найти следующим образом:
; 
; 
.
Элементы R, L, C соединены параллельно, поэтому:
В.
Тогда ток в резисторе:
ток в индуктивности:
ток через емкость:
Значения (законы изменения) токов в ветвях совпадают с результатами, полученными ранее. Предложенный способ непосредственного определения токов оказался гораздо короче символического, что объясняется относительной простотой схемы. Применение символического метода расчета преследовало цель показать общую методику расчета.
Сделаем проверку по первому закону Кирхгофа для выбранного момента времени, например, t = 0.
Ток в неразветвленной части схемы:
А.
А.
Токи в параллельных ветвях:
А;
А;
А;
А;
А;
А.
А.
А (верно.)
Т.е. первый закон Кирхгофа выполняется.
Действующие значения токов (показания амперметров):
;
;
;
.
Действующее значение приложенного напряжения (показание вольтметра):
Активная мощность генератора:
Здесь 
;
.
Полная (кажущаяся) мощность:
Коэффициент мощности:
Активная мощность приемников:
Р 2 = 0, Р 3 = 0, т.к. в этих ветвях нет резистивных элементов.
Тогда: Р пр = Р 1 + Р 2 + Р 3 = 22,51 + 0 + 0 = 22,51 Вт.
Р Г » = 22,51 Вт, следовательно, энергетический баланс активных мощностей выполняется.
