Расчет цепи несинусоидального тока в общем случае

Пример 4.1

Использованная ранее методика расчета цепей несинусоидального тока при последовательном и параллельном соединении R, L, C применима и к более сложным случаям. Рассмотрим пример расчета цепи при воздействии на входе трапецеидального напряжения (пример 4.1).

 

L 2 xL

i 2 R 2

i 0

u

i 1 R 1

Пример 4.1.1

 

Рис. 4.1.1.

B u

 

U _m=50B

t

0,5 T T

 

Рис. 4.1.2.

К источнику питания, напряжение которого изменяется согласно графику рис. 4.3.2 (период Т = 0,02 с, U_m = 50 B) включены параллельно резистор R ₁ = 20 Ом и катушка индуктивности с R ₂ = 10 Ом и L = 35 мГн.

Найти мгновенные и действующие значения токов в ветвях, вычислить коэффициент мощности c, составить баланс активных мощностей.

Решение

Трапецию можно разложить в ряд Фурье по следующему выражению:

Для заданной трапеции:

 

.

 

Ограничимся несколькими первыми слагаемыми ряда. Так как , т.е. , а , то в ряде напряжения будут отсутствовать гармоники, кратные 5. Ряд Фурье для заданного напряжения:

 

(4.1.1)

 

Определяем круговую частоту первой (основной) гармоники приложенного напряжения:

Гц – частота переменного напряжения промышленной частоты. Угловая частота:

 

.

 

Реактивное сопротивление индуктивности для первой гармоники:

Ом.

Ток i ₁ определяем по закону Ома:

. (4.1.2)

 

Комплексная амплитуда для 1-, 3- и 7-й гармоник:

 

A; A; A.

 

Для определения тока i ₂ используем метод комплексных амплитуд применительно к каждой гармонике напряжения:

 

 

Ток i ₂:

 

(4.1.3)

 

Определим закон изменения входного тока схемы i ₀. Этот же ток протекает через источник питания:

 

Ток в неразветвленной части цепи:

Сделаем проверку по первому закону Кирхгофа для момента времени t = 0.

Ток в неразветвленной части цепи:

 

Токи в параллельных ветвях:

.

Т.е. первый закон выполняется.

Действующее значение приложенного напряжения:

Действующее значение входного тока:

Активная мощность генератора:

здесь: ,

.

Т. к. то и .

Тогда:

Активная мощность приемников:

Т. е. баланс активных мощностей выполняется.

Полная мощность:

 

Коэффициент мощности:

.

Действующие значения токов в ветвях:

 

 

Соотношение между реактивными мощностями генератора и приемников рассмотрим для каждой гармоники отдельно.

Реактивная мощность генератора на первой гармонике:

 

Реактивная мощность приемников (реактивная мощность будет только в индуктивности L ₂):

 

 

Третья гармоника:

Седьмая гармоника:

Т. е. баланс реактивных мощностей по каждой гармонике выполняется.

 

Пример 4.2

Схема (рис. 4.2.1) на вход которой действует периодическое напряжение u ₁(t), график которого приведен на рис.4.2.2.

Параметры схемы: L = 1 мГн; С = 1 мкФ; Т = 0,314 мс;

U_m = 100 В; R_н = 25 Ом.

C

u 1(t)

u 2 (t)

С

L

 

 

Рис.4.2.1

 

Um

u

t

t '

 

 

0

Рис.4.2.2.

 

Требуется:

1. Разложить напряжение u _{1( t )} в ряд Фурье до 5-й гармоники включительно, используя табличное разложения, приведенное в учебнике.

2. Обозначив сопротивления элементов схемы в общем виде как R_н; jx_c и - jx_c, вывести формулу для комплексной амплитуды напряжения на нагрузке через комплексную амплитуду входного напряжения . Полученное выражение пригодно для каждой гармоники, только под x _L и x _C следует понимать сопротивления для соответствующей гармоники.

3. Используя формулу п.2, определить комплексную амплитуду напряжения на выходе (на нагрузке) для следующих гармоник ряда Фурье: нулевой, 1-й, 3-й и 5-й гармоник.

4. Записать мгновенное значение напряжения на нагрузке в виде ряда Фурье.

5. Построить друг под другом линейчатые спектры входного и выходного напряжений.

6. Определить токи в схеме при заданной нагрузке и сделать проверку по закону Кирхгофа для фиксированного момента времени (t = 0).

 

Решение

1. Заданное напряжение u_{1 ( t )} относительно оси времени t несимметрично. Симметричным оно будет относительно новой оси времени t ', поднятой относительно действительной оси t на величину . Поэтому заданное напряжение в разложении в ряд Фурье должно иметь постоянную составляющую равную:

 

.

Относительно новой оси t ' напряжение будет симметричным, и тогда его можно записать в ряд Фурье, используя готовое (табличное) разложение [Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники, 1973, с.228]:

 

.

Для заданной кривой: В.

График заданного напряжения на время смещён (опережает) во времени «табличную» кривую (см. рис. 4.2.2). Поэтому в разложении заданного напряжения это смещение должно быть учтено в аргументах синусоидальных функций, а именно:

 

.

Тогда с учетом постоянной составляющей график заданного напряжения будет описываться следующим выражением:

Подставляем числовые значения, учитывая, что:

;

;

.

Тогда разложение в ряд Фурье входного напряжения:

На рис. 4.2.3 приведено графическое изображение входного напряжения u _{1( t ).}

Рис. 4.2.3. Разложение входного напряжения u_{1 ( t )} на гармоники, где:

-jxc(k)

-jxc(k)

jxL(k)

a

b

Rн

2. Выведем выражение для напряжения на выходе схемы (рис. 4.2.4) через параметры элементов схемы и напряжения на входе .

 

Рис. 4.2.4

 

Вывод проведем для комплексных амплитуд k -й гармоники (т.е. для любой гармоники при k = 1; 3 и т.д.). Уравнение по второму закону Кирхгофа для внешнего контура:

. (2)

По первому закону Кирхгофа (для узла а):

. (3)

Так x _{c( k )} и R_н включены параллельно, то:

, .

Тогда:

. (4)

Подставляя (4) в (2), получим:

Преобразуем полученное выражение:

Отсюда получаем:

. (5)

3. Используя полученное выражение (5) вычисляем комплексную амплитуду напряжения на нагрузке (на выходе) для 0, 1-й, 3-й, 5-й гармоник.

Угловая частота первой гармоники:

Реактивные сопротивления элементов схемы для первой гармоники:

3.1. Постоянная составляющая (нулевая гармоника), k = 0.

Так как активное сопротивление идеальной индуктивности равно нулю, а конденсатор постоянного тока не пропускает, то для данной схемы напряжение на выходе будет равно напряжению на входе.

.

3.2. Первая гармоника: k = 1.

Закон изменения во времени первой гармоники входного напряжения [см.выражение (1)]:

.

Комплексная амплитуда входного напряжения 1-й гармоники:

.

Тогда, используя (5), получаем комплекс амплитудного значения напряжения на нагрузке для 1-й гармоники:

(6)

Мгновенное значение (закон изменения во времени) выходного напряжения первой гармоники:

. (7)

3.3. Третья гармоника: k =3.

Согласно (5) комплексная амплитуда напряжения на нагрузке для 3-й гармоники:

где: B [см. выражение (1)];

Ом,

Ом,

тогда комплекс амплитудного значения напряжения на нагрузке для 3-й гармоники:

(8)

 

Мгновенное значение этого напряжения:

В. (9)

3.4. Пятая гармоника: k =5

где: согласно (1):

.

Тогда комплексная амплитуда напряжения на нагрузке для 5-й гармоники:

(10)

Мгновенное значение этого напряжения:

В. (11)

4. Закон изменения во времени (мгновенное значение) напряжения на нагрузке:

 

u _2(t) = u ₂₍₀₎ + u ₂₍₁₎ + u ₂₍₃₎ + u ₂₍₅₎ = 50 + 63,662 sin(ωt + 36,87^°) +

+ 5,9979 sin(3ωt + 132,7094^°) + 1,2928 sin(5ωt – 66,0375^°), B. (12)

 

5. На рис. 4.2.5 приведены линейчатые спектры входного и выходного напряжений.

 

6. Определим токи в схеме рис. 4.2.4 при заданной нагрузке R_н и проверим выполнение законов Кирхгофа в фиксированный момент времени (например, t = 0).

 

6.1. Постоянная составляющая: U ₂₍₀₎ = 50 B.

Ток в нагрузке: А.

Ток через конденсатор:

I ₁₍₀₎ = 0.

Ток I ₃₍₀₎ = I ₁₍₀₎ + I ₂₍₀₎ = 2 A.

Напряжение на участке «в – а»: U ₃₍₀₎ = 0.

 

 

6.2 Первая гармоника k = 1.

Здесь см. (6).

12,7324

21,2207

63,662

k ω

В U1(k)m

ω 2ω 3ω 4ω 5ω 6ω

k ω

90°

270°

90°

φ1(k)

ω 2ω 3ω 4ω 5ω 6ω

360° 270° 180° 90° 0

 

 

 

k ω

-66,0375°

132,7094°

36,87°

φ2(k)

ω 2ω 3ω 4ω 5ω 6ω

360° 270° 180° 90° -90°

1,2928

5,9979

63,662

k ω

В U2(k)m

ω 3ω 5ω

 

 

Рис. 4.2. 5. Линейчатые спектры входного и выходного напряжений.

Ток на основании первого закона Кирхгофа для узла а схемы рис.3.1:

= + = (-0,764 + j 1,019) + (2,037 + j 1,528) =

=1,273 + j 2,547 = 2,847 e ^{j 63,447°} A.

Напряжение на участке в – а: (напряжение на индуктивности):

(13)

II-й закон Кирхгофа для первой гармоники:

+ = . (14)

Левая часть выражения (14):

т.е. II -й закон Кирхгофа для первой гармоники напряжений выполняется.

6.3. Третья гармоника (k = 3).

По (8): В.

А.

 

Ток в 3-й ветви:

Напряжение на участке в – а для 3-й гармоники:

 

В. (15)

II-й закон Кирхгофа для 3-й гармоники:

(16)

Левая часть выражения (16):

= (-4,068 + j 4,4073) + (4,0684 - j 25,628) =

= - j 21,2207 = 21,2207 B.

Т.е. 21,2207 . Верно!

6.4. Пятая гармоника.

По (10): В.

А;

А.

Напряжение на индуктивности для 5-й гармоники:

(17)

Второй закон Кирхгофа для 5-й гармоники:

. (18)

Левая часть выражения (18):

т.е. практически равно правой части выражения (18), получаем

(согласно выражению (1)).

Следовательно (с учетом погрешности вычислений) II-й закон Кирхгофа выполняется и для 5-й гармоники.

Закон измерения во времени напряжения на индуктивности:

(19)

Проверим выполнение II-го закона Кирхгофа для внешнего контура схемы рис.4.2.4: при фиксированном моменте времени, например t = 0.

Из выражения (12) получаем при t = 0:

Из выражения (19) при t=0 получаем:

+ В.

В.

Из выражения (1) при t = 0 получаем:

B.

Т.е с учетом погрешности вычислений (менее 0,005%) второй закон Кирхгофа выполняется и при t = 0.

На рис.4.2.6 приведено графическое изображение второго закона Кирхгофа для внешнего контура схемы рис.4.2.4.

 

Рис. 4.2.6. Графическое изображение второго закона Кирхгофа для внешнего контура схемы рис.4.2.4: