2017-12-16
1369
Система счисления – это соглашение о представлении чисел посредством конечной совокупности символов (цифр)
A = {a0, a1, …, an-1}, называемой алфавитом. Каждой цифре ставится в соответствие определенный количественный эквивалент.
Непозиционная система счисления – это система, в которой цифры не меняют своего количественного эквивалента в зависимости от местоположения (позиции) в записи числа.
К непозиционным системам счисления относится система римских цифр, основанная на употреблении латинских букв для десятичных разрядов I = 1, X = 10, С = 100, М = 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500.
Рассмотрим запись единиц. Числа 1 и 5 представляются соответственно цифрами I и V. Чтобы представить числа 2 или 3 необходимо записать соответствующее число единиц: II или III. Для представления чисел 4 или 9 к цифре V (пять) или X (десять) слева дописывается единица I: IV или IX. Для представления чисел 6, 7, 8 к цифре V справа подписываются соответствующее число единиц: VI, VII, VIII. Аналогично записываются десятки, сотни и тысячи.
|
|
|
Число в системе римских чисел записывается по схеме «тысячи-сотни-десятки-единицы».
Непозиционные системы счисления обладают следующими недостатками:
- сложность представления больших чисел (больше 10000);
- сложность выполнения арифметических операций над числами, записанными с помощью этих систем счисления.
Из-за перечисленных недостатков числа принято записывать с помощью позиционных систем счисления.
Позиционная система счисления – это система, в которой количественный эквивалент цифры зависит от ее положения в числе. Примером позиционной системы счисления является используемая нами десятичная система счисления.
Основание позиционной системы счисления – это количество символов в ее алфавите. Например, в десятичной системе счисления десять цифр, поэтому она имеет основание n = 10. Позиционная система счисления с основанием n называется n-ичной.
4. Представление чисел в позиционной системе счисления в виде многочлена.
Значение числа, представленного конечной дробью, в n-ичной системе счисления
amam–1…a1a0,a–1a–2…a–k,
где «,» – разделитель целой и дробной частей; ai, i = –k, m; или с явным указанием основания системы счисления
(amam–1…a1a0,a–1a–2…a–k)n,
определяется по формуле
amnm + am–1nm–1 + … + a1n1 + a0n0 +
+ a–1n–1 + a–2n–2 + … + a–kn–k = 
Правило (вывод правила) перевода целых чисел из одной системы счисления в другую Пример перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Пример перевода в десятичную систему счисления из двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.
Перевод целого числа X осуществляется по следующему алгоритму:
|
|
|
1) получить цифру числа n-ой системы счисления как остаток от деления числа X на основание новой системы счисления n; полученную цифру приписать слева от имеющихся цифр;
2) принять за X частное от деления числа X на основание системы счисления n;
3) выполнять шаги 1-2, пока X ¹ 0.
Примеры:
Из десятеричной в двоичную (по аналогии делается с переводом в восьмеричную и десятеричную):
2510=110012
Из двоичной в десятеричную (по аналогии делается с переводом из восьмеричной и шестнадцатиричной в десятичную)
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа
101101102 =(1·27)+(0·26)+(1·25)+(1·24)+(0·23)+(1·22)+(1·21)+(0·20)= 128+32+16+4+2 = 18210
Правило (вывод правила) перевода дробных чисел из одной системы счисления в другую. Пример перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Пример перевода в десятичную систему счисления из двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.
Если при переводе конечной дроби в другую систему счисления получается конечная дробь, то такой перевод называется точным. Если при переводе получается бесконечная дробь, тогда перевод называется приближенным.
Перевод дробных чисел из n-й в десятичную систему счисления - вещественное число переводится из n-й в десятичную систему счисления с использованием формализованного представления числа.
Перевод дробных чисел с нулевой целой частью из десятичной в n-ую систему счисления - дробное число X, у которого целая часть равна 0, переводится из десятичной в n-ую систему счисления по следующему алгоритму:
1) умножить X на n;
2) получить цифру как целую часть числа X и приписать ее справа от имеющихся цифр;
3) обнулить целую часть числа X;
4) выполнять шаги 1-3, пока X ¹ 0 (при точном переводе) или до получения нужного количества цифр в дробной части (при приближенном переводе с заданной точностью).
Примеры:
Из десятеричной в двоичную (по аналогии делается с переводом в восьмеричную и десятеричную):
На последнем шаге перевода получена единица. После обнуления целой части получим 0. Значит, перевод закончен. Результат перевода числа 0,6875 в двоичную систему счисления – число 0,10112.
Если бы нам было необходимо получить дробную часть с точностью до 3 знаков, то процесс перевода был бы остановлен после получения 3 цифр в дробной части. □
Перевод дробных чисел с ненулевой целой частью из десятичной в n-ую систему счисления - при переводе дробных чисел из десятичной в n-ую систему счисления отдельно переводятся целая и дробная части.
Из десятеричной в двоичную (по аналогии делается с переводом в восьмеричную и десятеричную):
101101,1012 = 1·25+0·24+1·23+1·22+0·21+1·20+1·2-1+0·2-2+1·2-3=45,625
