Позиционные системы счисления

III. Системы счисления

Информатика

К позиционным системам счисления относятся десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Любая позиционная система характеризуется ее основанием. Основание (базис) позиционной системы счисления q – это количество знаков (цифр или символов), используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Например, для десятичной системы q=10, поскольку для изображения числа в этой системе используются 10 цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

для двоичной системы q=2 (0, 1);

для восьмеричной системы q=8 (0, 1, …, 7);

для шестнадцатеричной системы q=16 (0, 1, …, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).

Возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления, т. к. за основание можно принять любое число, образовав новую систему счисления.

Запись числа в некоторой системе счисления является кодом числа. Соответственно системам счисления существуют десятичный, двоичный, восьмеричный и шестнадцатеричный коды.

Элементы алфавита, которые используются для записи чисел в некоторой системе счисления, называются цифрами. Позиции для размещения числа называются разрядами числа в данной системе счисления. Количество разрядов в записи числа называется разрядностью числа, которая совпадает с его длиной. Таким образом, длина числа – это количество позиций в записи числа.

Разрядная сетка – это совокупность двоичных разрядов.

Длина разрядной сетки – это число разрядов (позиций), выделяемых в компьютере для представления числа.

Вес разряда числа в некоторой системе счисления – это величина

P_i= qⁱ

i – номер разряда разрядной сетки, отсчитываемый справа налево.

Диапазон представления чисел в заданной системе счисления– это интервал числовой оси, заключенный между максимальным и минимальным числами, значение которых зависит от длины разрядной сетки, выделенной в компьютере для представления чисел.

Существую мультипликативные и аддитивные позиционные системы счисления.

Для мультипликативных систем счисления справедливо следующее равенство:

= a_nqⁿ х a_n _-1 qⁿ ^-1 х... х a ₁ q ¹ х a ₀ q ⁰ х a _-1 q ^-1 х... х a _{- m} q ^-m