Первого порядка (без повторных опытов)

Источник дисперсии	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат	Математическое ожидание среднего квадрата
A
B
C
D
Остаток
Итого

Два латинских куба размера n первого порядка ортогональны, если при наложении их друг на друга каждый элемент одного куба встречается с каждым элементом другого куба n раз. Два таких ортогональных куба, наложенные друг на друга, представляют греко-латинский куб размера n первого порядка. Планирование по схеме греко-латинского куба первого порядка позволяет ввести в эксперимент пятый фактор. Если совместить три ортогональных латинских куба и более, то получится гипер-греко-латинский куб. Полная система ортогональных латинских кубов размера n первого порядка, составляющих полностью ортогональный гипер-греко-латинский куб, не может включать более кубов. Существование таких систем доказано для n, представляющего собой простое число или целую положительную степень простого числа.

В латинских кубах первого порядка все факторы устанавливаются на одинаковом количестве уровней, равном n — размеру куба, и все линейные эффекты определяются с одинаковой точностью, максимальной для данного числа опытов. В латинском кубе второго порядка один фактор устанавливается на л²-уровнях, а все остальные факторы—на n -уровнях. На рис. 23 изображен латинский куб размера n — 3 второго порядка. Факторы А, В, С имеют три уровня: 0, 1, 2, а фактор D — девять уровней: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, расположенных по схеме латинского куба (табл. 23). Планирование по схеме латинского куба может быть очень полезно на первых этапах исследования процесса при выборе оптимальной комбинации качественных факторов.

Таблица 23. Латинский куб второго порядка (n =3, r =2)

C =0

C =1

C =2

Пример 4. Латинский куб второго порядка был использован при разработке композиций нового полимерного материала на основе полиэтилена высокого давления, обладающего повышенной жесткостью и способностью перерабатываться методом термоформования. Рассматривалась трехкомпонентная система: ПЭВД, наполнитель, эластифицирующая добавка. Изучались свойства композиций с тремя видами эластифицирующих систем, девятью типами наполнителей, в которых менялись на трех уровнях количество добавок и количество наполнителя. Тип добавки : СКЭП (1); ИСТ-30 (2); ДСТ-30 (3); количество добавки : 3 (1); 5 (2); 10 (3); количество наполнителя : 5 (1); 10 (2); 15 (3); тип наполнителя : тальк — Т(0); аэросил — А(1); слюда — С(2);Т:А = 1:1(3);

Т: А = 1:0,5(4); Т:А = 0,5:1(5); А:С = 1:1(6); А:С = 1:0,5(7); А:С = 0,5:1(8).

Опыты проводились в лабораторных условиях. Пригодность разрабатываемого пластического материала к переработке и эксплуатации оценивалась по четырем показателям: — модуль упругости при изгибе, МПа; — разрушающее напряжение при разрыве, МПа; — относительное удлинение при разрыве, %; D — обобщенный безразмерный критерий качества (обобщенная функция желательности).

Решение. План эксперимента и результаты испытаний образцов приведены в табл. 24 (см. также табл. 23).

Для выделения факторов, существенно влияющих на показатели качества, был проведен дисперсионный анализ результатов в предположении линейной математической модели (III. 108). Дисперсионный анализ проводился в следующем порядке. Для четырех показателей качества , , и D подсчитывались: 1) итоги для каждого фактора на всех уровнях (табл. 25):

Таблица 24. Латинский куб второго порядка

Номер опыта					, МПа	, МПа	, %	D
								0,645 0,647 0,610 0,810 0,650 0,550 0,686 0,638 0,638 0,759 0,650 0,381 0,732 0,440 0,491 0,773 0,248 0,768 0,210 0,350 0,668 0,430 0,304 0,530 0,340 0,445 0,743

Таблица 25. Итоги по разным уровням факторов

Отклики	Добавки	Количество добавки	Количество наполнителя

D	4,937	4,920	5,279	5,382	4,320	4,986	3,627	5,238	5,877

Продолжение табл. 25

Отклики	Наполнители

D	1,581	1,929	1,371	1,926	1,926	1,725	1,008	1,719	1,389

2) сумма квадратов всех наблюдений

например, для модуля упругости при изгибе

3) сумма квадратов итогов по фактору , деленная на .

Так, для показателя (табл. 25)

Таким же образом определялись эти величины для остальных факторов;

например, для (табл. 25)

7) корректирующий член, равный квадрату общего итога, деленному на число опытов

например, для (табл. 25)

Далее определялись суммы квадратов для всех источников дисперсии

например, для

10)

например, для

11)

например, для

12) общая сумма квадратов равна разности между суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом:

например, для

13) остаточная сумма квадратов служит для оценки ошибки эксперимента

например, для

Результаты дисперсионного анализа для всех четырех показателей качества представлены в таблице.

Свойство	Источник дисперсии	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат	Проверка значимости
	Ошибка Общая сумма		4 406 23 705 173 414 17 547 26 919 245 991	2 203 11 853 86 707 2 193 2 243
	Ошибка Общая сумма		4 949 7 480
	Ошибка Общая сумма		3 098 38 617 654 929 120 054 60 375 877 073	1 549 19 309 327 465 15 007 5 031
D	Ошибка Общая сумма		0,058 0,299 0,307 0,130 0,794	0,029 0,150 0,154 0,011

Для выбора оптимальной композиции эффекты факторов на разных уровнях были сопоставлены при помощи множественного рангового критерия Дункана (см. табл. 7 приложения). При этом поскольку тип добавки значимо влияет только на (см. таблицу), была выбрана добавка, обеспечивающая максимальную прочность при изгибе. Ошибка среднего значения равна

Средние значения для уровней

фактора ...........

Ранги, ............ 3,08 3,23

............. 9,2 9,7

- различие значимо

- различие незначимо

Была выбрана добавка типа ДСТ-30. Этот тип добавки существенно отличается от добавки типа СКЭП и незначимо от ИСТ-30.

В связи с тем, что факторы , и по-разному влияют на показатели качества (табл. 25), оптимальная композиция была выбрана на основании факторного анализа обобщенной функции желательности D. Была определена ошибка среднего значения D: для факторов и

для фактора

Уровни фактора ....... 1 2 0

Средние значения D....... 0,480 0,554 0,598

Ранги, ............ 3,08 3,23

............. 0,107 0,113

- различие значимо

- различие незначимо

Уровни фактора ....... 0 1 2

Средние значения D....... 0,403 0,582 0,653

- различие значимо

- различие незначимо

- различие значимо

Уровни фактора 6 2 8 0 7 4 3 1 5

Средние значения D 0,3360,4570,4630,5270,5730,5750,6420,6430,697

Ранги, ..... 3,08 3,23 3,33 3,36 3,40 3,42 3,44 3,44

...... 0,187 0,197 0,201 0,205 0,208 0,209 0,210 0,220

- различие значимое

- различие незначимое

- различие значимое

- различие незначимое

- различие значимое

- различие незначимое

- различие значимое

- различие незначимое

- различие значимое

- различие незначимое

На основании дисперсионного и факторного анализа были выбраны следующие композиции:

1) ПЭВД + 10% (Т: А = 1: 1) + 10%ДСТ-30;

2) ПЭВД + 15% (Т: А = 1: 1) + 10%ДСТ-30;

3) ПЭВД + 10% (Т: А = 1: 0,5) + 10% ДСТ-30.

Свойства оптимальных композиций приведены в таблице.

Номер композиции	, МПа	, МПа	, %	Формуемость
				Отличная Хорошая Отличная

Методы дисперсионного анализа и тесно связанного с ним планирования эксперимента в настоящее время довольно широко применяются для решения прикладных задач в химии и химической технологии.

Дисперсионный анализ использует свойство аддитивности дисперсии изучаемой случайной величины и дает возможность разложить ее на компоненты, обусловленные действием независимых факторов.

Основные положения дисперсионного анализа даются в данной главе без доказательств.

Приведены алгоритмы обработки наблюдений для однофакторного и двухфакторного анализов.

Рассмотрены методы планирования экспериментов по схеме латинского, греко-латинского, гипер-греко-латинского квадратов и латинских кубов первого и второго порядков, дающие возможность существенно сократить перебор уровней, пожертвовав при этом наименее существенной при данной постановке задачи информацией.

Упражнения

1. Для каких задач эффективно применение дисперсионного анализа?

2. Какие модели используются в дисперсионном анализе? Каковы особенности интерпретации результатов при использовании различных моделей?

3. Что такое латинские квадраты и как они применяются в планировании экспериментов?

4. Сколько факторов и на скольких уровнях позволяют ввести в эксперимент латинские квадраты, гипер-греко-латинские квадраты, латинские кубы первого и второго порядков?

5. Оценить значимость различия в производительностях реакторов. Средняя производительных четырех параллельно работающих реакторов представлена в таблице:

Реактор	Средняя производительность, т/сут

6. Оценить влияние температуры и значимость различия между марками стали на скорость коррозии. В таблице приведены значения скорости коррозии (мм/год) в полифосфорной кислоте при различной температуре для четырех марок стали.

Марка стали	Температура, °C

	0,006 0,002 0,007 0,003	0,012 0,012 0,025 0,00	0,075 0,093 0,088 0,050	0,231 0,185 0,326 0,158

7. Латинский квадрат 3X3 (табл. 14) был использован для анализа процесса перекристаллизации биологически активного вещества. Факторы и их уровни приведены в таблице:

Факторы	Обозначение факторов	Уровни факторов
обозначение	значение
Температура, °C	A
Продолжительность, ч	B
Соотношение растворитель: вода	C		1:0,5 1:1 1:2