Непрерывно-стохастические модели 6 страница

(III.82)

Число опытов можно значительно сократить, если воспользоваться ДФЭ по схеме латинского квадрата, введенного впервые Фишером. Латинский квадрат — это квадратная таблица, составленная из п элементов (чисел или букв) таким образом, что каждый элемент повторяется в каждой строке и каждом столбце только один раз. Из трех элементов образуется латинский квадрат :

(III.83)

Из четырех элементов — латинский квадрат :

(III.84)

Стандартными или каноническими латинскими квадратами называются такие квадраты, у которых первая строка и первый столбец построены в алфавитном порядке (элементы квадрата — буквы) или в порядке натурального ряда (элементы квадрата — числа). Квадраты (III.83) и (III.84) являются стандартными. Построены эти квадраты путем одношаговой циклической перестановки; вторая строка строится перестановкой в конец строки первого элемента первой строки, третья строка — перестановкой в конец первого элемента второй строки и т. д. Одношаговая циклическая перестановка — это наиболее простой способ построения латинского квадрата. В общем случае латинский квадрат можетбыть построен при одношаговых циклических перестановках. Число латинских квадратов зависит от размера квадрата и для оно достаточно велико. Так, имеется 576 латинских квадратов , 161 280 латинских квадратов .

К планированию эксперимента по схеме латинского квадрата прибегают при исследовании влияния на процесс трех факторов А, В и С. При этом факторы А и В могут быть связаны с самим исследованием, а в качестве фактора С рассматривается неоднородность материала.

Все три фактора в латинском квадрате имеют одинаковое число уровней . Так, в плане (табл. 11) каждый фактор изменяется на двух уровнях.

Таблица 11. латинский квадрат

A	B

Таблица 12. План эксперимента n =2; N =4

Номер	A	B	C	y

В табл. 11 представлен факторный эксперимент типа , на который наложен латинский квадрат. Матрица планирования — соответствующий табл. 11 план эксперимента, включающий три столбца и четыре строчки, представлена в табл. 12.

Латинский квадрат является частью плана — по схеме латинского квадрата введен в планирование третий фактор С. Однако весь этот план (табл. 11) принято называть латинским квадратом. В латинском квадрате каждый элемент повторяется только один раз в каждой строчке и в каждом столбце, поэтому каковы бы ни были нарушающие свойства элемента квадрата, они в равной степени скажутся при подсчете средних по столбцам и по строкам. Приведенный в табл. 12 план представляет собой половину — полуреплику от ПФЭ (табл. 13). Вошедшие в полуреплику опыты отмечены звездочками.

Таблица13. Полныйфакторный эксперимент

Результат наблюдения, полученного пополному факторному эксперименту, можнопредставить в виде следующей модели:

(III.85)

В модель (III.85) помимо линейных эффектов входят три эффекта парного и один тройной эффект взаимодействия. Сокращение числа опытов в дробной реплике (см. табл. 11) приводит к тому, что линейные эффекты оказываются смешанными с эффектами взаимодействия:

эффект А с ВС взаимодействием,

эффект В с АС взаимодействием,

эффект С с АВ взаимодействием.

При применении латинского квадрата обычно исходят из предположения, что эффекты взаимодействия между факторами незначимы. Тогда результаты эксперимента можно представить в виде линейной модели

(III.86)

В табл. 14 приведен план эксперимента по схеме латинского квадрата .

Таблица 14. Латинский квадрат

A	B	Итоги




Итоги

Латинский квадрат со структурной точки зрения можно рассматривать как реплику от полного факторного эксперимента . В общем случае латинский квадрат можно рассматривать как реплику от ПФЭ .

При проведении дисперсионного анализа латинского квадрата без повторных опытов удобно использовать следующий алгоритм расчета. Для этого определяют: 1) итоги по строкам , столбцам и латинским буквам . Например, для приведенного в табл. 14 латинского квадрата итоги по строкам:

, , ,

итоги по столбцам:

, , ,

итоги по латинским буквам:

, , ,

2) сумму квадратов всех наблюдений

(III.87)

3) сумму квадратов итогов по строкам, деленную на число наблюдений
в строке,

(III.88)

4) сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце,

(III.89)

5) сумму квадратов итогов по латинским буквам, деленную на число наблюдений, соответствующих каждой букве,

(III.90)

6) квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений(корректирующий член),

(III.91)

7) сумму квадратов для строки

(III.92)

8) сумму квадратов для столбца

(III.93)

9) сумму квадратов для латинской буквы

(III.94)

10) общую сумму квадратов, равную разнице между суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом,

(III.95)

11) остаточную сумму квадратов

(III.96)

Остаточная сумма квадратов складывается из дисперсии, обусловленной ошибкой опыта, и дисперсии, обусловленной взаимодействиями факторов, если такие имеются;

12) дисперсию

(III.97)

13) дисперсию

(III.98)

14) дисперсию

(III.99)

15) дисперсию

(III.100)

Результаты расчета представляются в виде табл. 15.

Таблица 15. Дисперсионныйанализ латинского квадрата

(без повторных опытов)

Источник дисперсии	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат	Математическое ожидание среднего квадрата
A
B
C
Остаток (ошибка)
Общая сумма

Значимость линейных эффектов проверяют по критерию Фишера. Если дисперсионные отношения удовлетворяют неравенствам

(III.101)

где p — уровень значимости; — числа степеней свободы, равные ; , принимаются нулевые гипотезы: , , . Если какое-нибудь дисперсионное отношение оказывается больше табличного, соответствующая нулевая гипотеза отвергается, и влияние фактора считается значимым. Приняв гипотезу о значимости влияния фактора, т. е. гипотезу о значимости различия в средних, обычно выясняют, какие именно средние значимо различаются между собой при помощи критерия Стьюдента или множественного рангового критерия Дункана. Если же согласно условиям задачи один или два фактора являются источниками неоднородностей, влияние которых надоисключить при подсчете главного эффекта (это обеспечивается планированием по схеме латинского квадрата), то средние по источникам неоднородностей не подсчитываются и не проверяется значимость их различия по статистическим критериям.

Пример 3. Планирование эксперимента по схеме латинского квадрата было использовано для исследования влияния на процесс органического синтеза трех факторов: А — типа галогеналкила на уровнях и ; B— типа растворителя на уровнях и ; С —отношения количества мономера к растворителю. Результаты (выход полимера в процентах) представлены в таблице.

Эксперимент проводился без повторных опытов. Требуется оценить значимость влияния рассматриваемых факторов на процесс синтеза.

A	B	Итогипо строкам

	13,2		49,1	7,2	72,2
	19,0	8,0	15,5	9,5	52,0
	4,6	5,9	31,5	53,1	95,1
	14,7	16,3	60,9	55,2	147,1
Итоги по столбцам	51,5	32,9	157,0

Решение. Расчет проводится в соответствии с приведенным алгоритмом по формулам (III.88) — (III.100). Итоги по строкам и итоги по столбцам приведены в таблице. Определим: 1) итоги по латинским буквам:

; ; ; ;

2) сумму квадратов всех наблюдений

3) сумму квадратов итогов по строкам, деленную на число наблюдений
в строке,

4) сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце,

5) сумму квадратов итогов по латинским буквам, деленную на число наблюдений, соответствующих каждой букве,

6)корректирующий член —квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений:

7) сумму квадратов для строки

8) сумму квадратов для столбца

9) сумму квадратов для латинской буквы

10) общую сумму квадратов, равную разнице между суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом,

11) остаточную сумму квадратов

12) дисперсию

13) дисперсию

14) дисперсию

15) дисперсию

Результаты расчета сведены в таблицу дисперсионного анализа.

Источник дисперсии	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат
A B C Ошибка Общая сумма		1259,28 2611,60 1340,75 902,97 6114,56	419,75 336,92 150,5