Оценка параметров нелинейных моделей

Нелинейные уравнения регрессии можно разделить на два класса:

– уравнения, которые с помощью замены переменных можно привести к линейному виду в новых переменных

– уравнения, для которых это невозможно. Назовем их внутренне нелинейными.

В первом случае, уравнения регрессии приводятся к линейному виду с помощью введения новых (линеаризующих) переменных. При этом предварительно формируются массивы значений. В последующем, после определения параметров линейного уравнения регрессии с помощью обратного преобразования можно получить параметры исходного уравнения регрессии, представляющие интерес для исследователя.

Линеаризующие преобразования для некоторых нелинейных моделей приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Линеаризующие преобразования

Зависимость	Формула	Преобразование	Зависимость между параметрами
Гиперболическая		y1=y X=1/x	а1=а b1=b
Логарифмическая		y1=y X=ln x	а1=а b1=b
Экспоненциальная		Y=lny х1=х	а1=а b1=b
Степенная		Y=lny (Y=lgy) X=lnx (X=lgx)	ln a=C (lg a=C) b1=b
Показательная		Y=lny (Y=lgy) х1=х	ln a=C (lg a=C) ln b=B (lg b=B)

Для оценки параметров внутренне нелинейных зависимостей также можно применить МНК и определять оптимальные значения параметров а и b, исходя из условия .

В данном случае процедуру минимизации дисперсии в общем виде можно представить в виде следующих последовательных шагов.

1. Задаются некоторые «правдоподобные» начальные (исходные) значения параметров а и b.

2. Вычисляются теоретические значения ŷi = f(xi) с использованием этих значений параметров.

3. Вычисляются остатки еi = ŷi – yi и сумма квадратов остатков S.

4. Вносятся изменения в одну или более оценку параметров.

5. Вычисляются новые теоретические значения ŷi, остатки еi и S.

6. Если произошло уменьшение S, то новые значения оценок используются в качестве новой отправной точки.

7. Шаги 4, 5 и 6 повторяются до тех пор, пока не будет достигнута ситуация, когда величину S невозможно будет улучшить (в пределах заданной точности).

8. Полученные на последнем шаге значения параметров а и b являются оценками параметров нелинейного уравнения регрессии.