Графічне рішення з програмою tora

1 2 3 4

Для того, щоб отримати графічне рішення задачі лінійного програмування, необхідно виконати такі дії:

1. Виберіть в меню Main Menu (Головне меню) пункт Linear Programming (Лінійне програмування)/

2. Вкажіть режим вводу даних (завантажте дані з файлу чи ввести нові) та формат чисел

3. Якщо рішаєте нову задачу, введіть дані в таблицю.

4. Натисніть на кнопку Solve (Меню рішення)

5. У новому (вспливаючому) меню оберіть команду Solve ® Graphical (вирішити ® графічно)

6. Визначте формат результату і натисніть на кнопку Go to Output Screen (Перехід до вікна результатів).

7. З*явиться графічне та числове рішення задачі ЛП.

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

Александр – студент другого курсу. Він прийшов до висновку, що тільки навчання, без щоденного відпочинку, погано впливає на його розумовий та фізичний розвиток. Тому він вирішив розподілити свій час (близько 10 годин) для навчання та відпочинку.

Привабливість відпочинку він оцінює в два рази вище, ніж привабливість часу на навчання.

Проте, маючи совість та почуття гідності, Александр вирішив, що час для відпочинку не має перевищувати час для навчання.

Крім того, він помітив, що якщо виконувати все домашнє завдання, то на відпочинок лишається не більше 4 годин на день.

За допомогою методів лінійного програмування, допоможіть Александрові розподілити час так, щоб він отримував максимальне задоволення від роботи та від відпочинку.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 3:

ЗНАХОДЖЕННЯ МІНІМУМУ ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ

Приклад 2.

Етап 1. Отримання змісту задачі.

Комунікаційне підприємство щоденно виробляє не менше 800 кг сплаву для дротів – міксу олова та алюмінію. Склад сплаву представлений в таблиці.

Сплав	Елемент 1 що впливає на міцність (кг на кг сплаву)	Елемент 2, що впливає на гнучкість (кг на кг сплаву)	Вартість (в $за кг)
Олово (х₁) кг	0,09	0,02	0,30
Алюміній (х₂) кг	0,60	0,06	0,90

Фахівці вимагають, щоб у сплаві була не менше 30% Елементу 1 та не більше 5% Елементу 2. Комунікаційне підприємство хоче визначити склад сплаву мінімальної вартості з врахуванням вимог фахівців.

Етап 2. Формалізація задачі у вигляді математичної моделі, яка складається з трьох основних елементів:

1) змінні, які слід визначити;

2) цільова функція, яку треба оптимізувати;

3) обмеження, яким мають задовольняти змінні

2.1) Обозначимо ці змінні:

х₁ – кількість олова, що використовують у щоденному виробництві сплаву (кг);

х₂ – кількість алюмінію, що використовують у щоденному виробництві сплаву (кг);

2.2.) Застосовуючи ці змінні, будуємо цільову функцію. Логічною є гіпотеза, що цільова функція, як сумарний щоденні витрати, має бути мінімальною. Обозначимо цю функцію через z (вона вимірюється в $) і тоді відповідно до цілей кампанії отримаємо таке завдання:

Мінімізувати z = 0,3х₁ + 0,9х₂

2.3.) Умови обмеження:

Обмеження моделі мають задовольніти виробничі вимоги та рекомендації фахівців.

2.3.1. Підприємство має випускати не менше 800 кг сплаву в день, тобто:

х₁ + х₂≥ 800

2.3.2. Відповідно до обмежень за елементами, загальна кількість елементів 1 та 2 у сплаві, що складається з х₁ кг олова та х₂ кг алюмінію, дорівнює:

Використовуємий обсяг сировини (кг): Елемент 1 = 0,09 х₁ + 0,60х₂

І ця кількість має складати не менше 30% від загального обсягу сплаву (х₁ + х₂). Звідси отримуємо таку нерівність:

Елемент 1 0,09 х₁ + 0,60х₂≥ 0,3 (х₁ + х₂)

0,09 х₁ + 0,60х₂≥ 0,3 х₁ + 0,3 х₂

(0,09 х₁ - 0,3 х₁)+ (0,60х₂- 0,3 х₂) ≥ 0

- 0,21 х₁ + 0,3 х₂ ≥ 0

0 ≥ 0,21 х₁ - 0,3 х₂

0,21 х₁ - 0,3 х₂≤ 0

Використовуємий обсяг сировини (кг): Елемент 2 = 0,02 х₁ + 0,06х₂

І ця кількість має складати не більше 5 % від загального обсягу сплаву (х₁ + х₂). Звідси отримуємо таку нерівність:

Елемент 2 0,02 х₁ + 0,06х₂≤ 0,05 (х₁ + х₂)

0,02 х₁ + 0,06х₂≤ 0,05 х₁ + 0,05 х₂

(0,02 х₁ - 0,05 х₁)+ (0,06х₂- 0,05 х₂) ≤ 0

- 0,03 х₁ + 0,01 х₂ ≤ 0

0,03 х₁ - 0,01 х₂≥ 0

2.3.3. Також існують два обмеження, що х_1,х₂ мають бути невід*мними. Таким чином додаємо, ще обмеження:

х₁ ≥ 0

х₂ ≥ 0

2.4. Остаточна формалізована задача прийме такий вигляд:

Мінімізувати z = 0,3х₁ + 0,9х₂

При виконанні обмежень:

х₁ + х₂≥ 800

0,21 х₁ - 0,3 х₂≤ 0

0,03 х₁ - 0,01 х₂≥ 0

х₁ ≥ 0

х₂ ≥ 0

Етап 3. Графічне представлення задачі.

На рис. 3.3. показано графічне рішення цієї задачі.

3.1

х₁ + х₂≥ 800 (1)

якщо х₁ = 0, то х₂= 800; (0, 800)

якщо х₂ = 0, то х₁= 800 (800, 0)

Отже, наша пряма проходить через дві точки (0, 800) та (800, 0)

Лінія поділяє площину на дві полу-площини. Точки площини з однієї сторони задовольняють нерівності, а з іншої – ні. Тестовою точкою є точка (0, 0).

Підставляємо цю точку до першого рівняння:
х₁ + х₂≥ 800 ®

0 + 0 = 0 ®

0 ≥ 800

Точка (0, 0) не задовольняє рівнянню, тому допустимим полу-простором буде те, що не містить цю точку. На рис. відмітимо цей простір стрілочкою з напрямом.

3.2

0,21 х₁ - 0,3 х₂≤ 0 (2)

якщо х₁ = 0, то х₂= 0 / 0,3 = 0; (0, 0)

якщо х₂ = 0, то х₁= 0 / 0,21 = 0 (0, 0)

Отже, наша пряма проходить через точку (0, 0).

На відміну від першої задачі, тут пряма проходить через точку (0,0) і щоб отримати пряму необхідно підставити в рівняння будь-яке значення.

Так якщо х₁ = 200, то

0,21×200 - 0,3 х₂= 0;

х₂= 42 / 0,3 = 140

Друга точка (200, 140)

Лінія поділяє площину на дві полу-площини. Точки площини з однієї сторони задовольняють нерівності, а з іншої – ні. Тестовою точкою є точка з будь-яким значенням (0, 100).

Підставляємо цю точку до першого рівняння:
0,21 х₁ - 0,3 х₂≤ 0 ®

0 – 0,3 × 100 ≥ 800 ®

30 ≥ 800

Точка (0, 100) не задовольняє рівнянню, тому допустимим полу-простором буде те, що не містить цю точку. На рис. відмітимо цей простір стрілочкою з напрямом.

3.3

0,03 х₁ - 0,01 х₂≥ 0 (3)

якщо х₁ = 0, то х₂= 0 / 0,03 = 0; (0, 0)

якщо х₂ = 0, то х₁= 0 / 0,01 = 0 (0, 0)

Отже, наша пряма проходить через точку (0, 0).

Тут пряма проходить через точку (0,0) і щоб отримати пряму необхідно підставити в рівняння будь-яке значення.

Так якщо х₁ = 200, то

0,03×200 - 0,01 х₂= 0;

х₂= 6 / 0,01 = 600

Друга точка (200, 600)

Підставляємо цю точку до першого рівняння:
0,03 х₁ - 0,01 х₂≥ 0 ®

0 – 0,01 × 100 ≥ 0 ®