Геометрический смысл дифференциала

Пусть точка на графике функции соответствует значению аргумента , точка , прямая - касательная к графику функции в точке , - угол между касательной и осью , приращение функции равно величине отрезка . Из прямоугольного треугольника получаем

т.е. дифференциал функции равен величине отрезка , причем, как видно из рисунка величины отрезков и различны.

Таким образом, дифференциал функции геометрически представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке с абсциссой при переходе от точки касания в точку с абсциссой (в то время как приращение функции изображается приращением ординаты самой кривой , на этом же участке).

Если - время, а координата точки на прямой, в момент , то дифференциал равен этому изменению координаты, которое получила бы точка за время , если бы скорость точки на отрезке времени была постоянной и равной . Изменение скорости на этом отрезке приводит к тому, что, вообще говоря, . Однако на малых промежутках времени изменение скорости незначительно и . (механический смысл дифференциала).

3. Свойства дифференциала, инвариантность его формы.

Задача нахождения дифференциала функции равносильна нахождению производной. Следовательно, большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняет свою силу и для дифференциала.

1. .

2. .

3. .

4. .

Пример. Найти дифференциал функции . .

Найдем дифференциал сложной функции. Пусть , где , т.е. . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции , или . Но , следовательно .

Если сравнить эту формулу с формулой , то можно видеть, что форма дифференциала не зависит от того, является аргументом функцией независимой переменной или функцией от независимой переменной.