Дифференциальная функции, его геометрический смысл

Рассмотрим понятие дифференциала функции, которое тесно связано с понятием производной. Термин дифференциал происходит от латинского слова differentia, означающего разность. Этот термин был введен Лейбницем. Обозначается буквой d.

Пусть функция , дифференцируема в точке , т.е. , где . Слагаемое является при бесконечно малой одного порядка с , оно линейного относительно )

Слагаемое при бесконечно малое более высокого порядка, чем .

Таким образом, первое слагаемое является главной частью приращения функции .

Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно , часть приращения функции в этой точке:

(2)

Учитывая, что (на основании теоремы: Для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную), формулу (2) можно записать в виде

(3)

Пусть . Тогда по формуле (3)

Дифференциалом независимой переменной назовем приращение этой переменной . Тогда формула (3) примет вид

(4)

Заметим, что с помощью равенства (4) производную можно вычислить как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной, т.е. . (5)