Применение дифференциала а приближенных вычислениях

Применение дифференциала в приближенных вычислениях основано на замене приращения функции её дифференциалом . Абсолютная погрешность при такой замене равна и является при бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Приращение функции может сложно зависеть от , и его вычисление часто сопряжено с большими трудностями. Вычисление же дифференциала по формуле просто. Геометрически замена приращения функции дифференциалом означает замену участка кривой в окрестности некоторой точки отрезком касательной к этой кривой в данной точке. Эта операция в математике получила название спрямление кривой или линеаризации.

Приближенное равенство применяется в основном в двух задачах:

1). Приближенном вычислении значения функции.

2). Оценке погрешностей в приближенных вычислениях.

Пусть известны значения функции в некоторой точке и её производной . Требуется найти значение функции в точке . отсюда или (9).

Пример1. Вычислить приближено .

Решение. Пусть ; =36. Тогда . Подставляя полученные значения в формулу (8) получим . Итак .

Заключение.

Определение дифференциала как главной линейной части прираще-ния чрезвычайно важно, так как именно на нем основаны все важнейшие применения дифференциала. Как мы увидим дальше, в случае функций нес-кольких переменных существование производных и существование главной линейной части приращения не являются уже равнозначными требованиями; и весьма замечательно, что наиболее естественным определением дифферен-цируемости функции там оказывается, как мы увидим, не существование производных, а именно существование главной линейной части приращения.

Отыскание дифференциала данной функции, так же как и отыскание ее производной, называется дифференцированием этой функции. То, что этим двум операциям присваивается одно и то же наименование, естествен-но и понятно: если производная у’ найдена, то для получения дифференци-ала dy достаточно умножить ее на данное число ∆ х, задаваемое совершенно отдельно и независимо от х, что, очевидно, никаких новых аналитических расчетов уже не требует.