Відхилення випадкової величини від її математичного сподівання

Математичне сподівання не дає повної характеристики випадкової величини, наприклад, не показує ніякі значення вона приймає, ні як вона розміщена навколо свого середнього значення. Розглянемо приклад.

Приклад 5. Дві випадкові величини X та Y задано розподілами

Знайдемо М(Х) і М(Y):

.

Отже, математичні сподівання М(X) і М(Y) однакові, хоча значення X і Y суттєво відрізняються одне від одного, а в другому випадку і від .М(Y).

Введемо нову величину, що характеризує відхилення випадкової величини X від M(X).

Означення 5. Відхилення випадкової велечини X називається різниця між випадковою велечиною та її математичним сподіванням.

тобто X — М(X).

Теорема 4. Математичне сподівання відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання дорівнює нулю:

M(X - M(X)) = 0.

Дійсно, згідно з властивостями М(Х) маємо.

M(X - M(X))= M(X) -M(M(X))= M(X) - M(X) = 0.

Отже, введена величина теж недостатньо характеризує розміщення значень Д ВВ. Тому в теорії ймовірностей розглядається квадрат відхилення

ДВВ.

Запитання для самоконтролю.

1)Що таке математичне сподівання ДВВ? Який ймовірнісний та механічний зміст математичного сподівання?

2)Назвіть та доведіть основні властивості математичного сподівання ДВВ.

3)Обчисліть математичне сподівання ДВВ, розподіленої за біномним законом.

4)Обчисліть математичне сподівання ДВВ, розподіленої геометрично.

5)Обчисліть математичне сподівання ДВВ, розподіленої за законом Пуассона.

6) Що таке відхилення ДВВ від її математичного сподівання? Чому
дорівнює його математичне сподівання?