Геометричний розподіл

Теорема 4. Дисперсія геометричного розподілу ДВВ X дорівнює

, де p (0 < р < 1) і q (0 < q < 1) - ймовірності появи і непояви події

А у кожному випробуванні.

Доведення. За умовою розподіл геометричний, тому М(X) =

Знайдемо М(Х²). M(X²) =1^{2 ∙} p + 2² – qp + 3² ∙ q²p+...+n² q^n-1 p+...=

= р(1² +2²∙ q + 3² ∙ q²+...+n²q^n-1 +...) =

Далі задано з рівністю по (2) знаходимо

Пояснення Покажемо, що сума степеневого ряду

Дійсно, при 0 < q < 1. проінтегруємо ряд почнемо

(див. властивість 7° математичного сподівання). Продиференціювавши останню рівність по q, знаходимо шукану суму ряду.

9.3. Середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини X.

Для оцінки розсіювання можливих значень випадкової величини

X навколо її середнього значення М(Х) можна ввести числову характеристику, яка матиме ту ж розмірність, що і сама величина (на відміну від дисперсії, яка вимірюється в квадратних одиницях). Останнє зауваження приводить до необхідності введення середнього квадратичного відхилення, зміст якого такий же, як у дисперсії, а розмірність - як у випадкової величини. Означення 2. Середнім квадратичним відхиленням ДВВ X нази­вається число ййй о(.Х), що визначається рівністю:

. (3)

Приклад 3. Знайти середнє квадратичне відхилення у прикладі 6. Розв'язання. Згідно з формулою (3) маємо:

Теорема 5. Середнє квадратичне відхилення суми скінченного

числа взаємно незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню з суми квадратів їх середніх квадратичних відхилень, тобто:

(4)

Дійсно, якщо . Тоді