Моменти розподілу ДВВ

Означення 3. Початковим моментом k -го порядку ДВВ X називається величина

v_k= M(x^k) (k = 1,п). (5)

Очевидно,що v₁ = М(Х), v₁ = М(Х²),

D(X)= M(X²)-M²(X) = v₂- v²₁.

Означення 4. Центральним моментом k-го порядку ДВВ X називається величина

µ_k = М(X – М(Х))^k (k = 1,п). (6)

Очевидно, що µ₁ = М(X – М(X)) = 0,

µ₂ = М(X – М(X))² =D(X) = v₂–v₁².

Взагалі, довільний центральний момент можна виразити через початкові моменти.

Зауваження 3. Початкові та центральні моменти при k≥2

дозволяють краще врахувати вплив на математичне сподівання досить

великих можливих значень X, які мають малу ймовірність.

Приклад 4. Знайти початкові та центральні моменти першого та

другого порядків випадкової величини X, заданої розподілом.

 

 

X
р	0,6	0,2	0,19	0,01

Розв'язання. Згідно з рівністю (5) знаходимо:

v₁ = М(X²) = 1 ∙ 0,6 + 2 ∙ 0,2 + 5 ∙ 0,19 +100 ∙ 0,01 = 2,95.

Запишемо закон розподілу X²:

 

X2
P	0,6	0,2	0,19	0,01

Далі обчислюємо v₂, і µ₂.

v₂ = М(Х²) = 1∙ 0,6+4∙ 0,2 + 25 ∙ 0,19 + 10000 ∙ 0,01 = 106,15,

µ₂ = v₂ - v²₁ = 106,15 – 2,95= 103,2.

Зауважимо, що величина M(X²) значно більша за М(X).

Запитання для самоконтролю.

1)Що таке дисперсія ДВВ? Доведіть формулу обчислення дисперсії ДВВ.

2)Назвіть та доведіть основні властивості дисперсії ДВВ.

3)Обчисліть дисперсію ДВВ, розподіленої за біномним законом.

4)Обчисліть дисперсію ДВВ, розподіленої геометрично.

5)Обчисліть дисперсію ДВВ, розподіленої за законом Пуассона.

6)Що таке середнє квадратичне відхилення ДВВ?

7) Як обчислити числові характеристики однаково розподілених
незалежних випадкових величин?

8)Що таке моменти розподілу ДВВ і як їх обчислити?