Теорема умножения вероятностей

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предложении, что первое событие уже наступило:

Р(А·В)= Р(А) ·Р_А(В) (5.3)

Доказательство. По определению условной вероятности,

Р_А(В)= Р(АВ) /Р(А).

Отсюда Р(АВ)= Р(А) ·Р_А(В) (*)

Замечание: Применив формулу (*) к событию ВА, получим

Р(ВА)= Р(В) ·Р_В(А),

или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ,

Р(АВ)= Р(В) ·Р_В(А) (**)

Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства

Р(А)· Р_А(В)= Р(В) ·Р_В(А). (***)

Вероятность события А, которое может иметь место только при реализации одного из несовместных событий В₁, В₂, …В_i, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

(5.4)