Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)= Р(А) +Р(В)- Р(АВ). (5.5)

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А+В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместимых событий, или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместимых событий,

(*)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий:

или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

Отсюда
(**)

Аналогично имеем

Отсюда (***)

Подставив (**) и(***) в (*), окончательно получим

т.е. формула (5.5)

Случайной величиной Х называют такую величину, которая в процессе опыта принимает одно из возможных значений х₁, х₂, …, х_n. Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными. Дискретная случайная величина может быть задана перечислением всех её возможных значений (т.е. все её частные значения можно пронумеровать). Непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Совокупность частных значений одной случайной величины, полученных при измерениях, называют статистической совокупностью. Генеральная статистическая совокупность содержит все возможные значения случайной величины. В инженерной практике обычно имеют дело не со всей генеральной совокупностью, а только с некоторой её частью – выборочной статистической совокупностью. Для того чтобы по выборке можно было оценить генеральную совокупность, выборка должна воспроизводить характер генеральной совокупности или приближаться к ней. Таким образом методами математической статистики находят приближенные параметры распределения случайных величин с определенной погрешностью.

Статистическую совокупность значений переменной величины, расположенных в порядке их возрастания, называют ранжированным вариантным рядом (дискретным или непрерывным). Непрерывный вариационный ряд может быть заменен дискретным с шириной интервала.

h= (x_max- x_min)/k, (5.6)

где x_max, x_min – соответственно наибольшее и наименьшее значение величины в совокупности; k – число интервалов, принимаемое в пределах от 6 до 12.

Более точно ширина интервала определяется по формуле Стерджесса:

h= (x_max- x_min)/(1+3,32 lg n) (5.7)

Отношение частоты события n_i в пределах заданного интервала к общему числу наблюдений
называют частостью:

(5.8)

а отношение накопления частоты к общему числу наблюдений – накопленной или относительной частостью:

(5.9)

которая для последнего интервала наблюдений равна 1.

Для графического изображения вариационного ряда используют гистограмму, полигон или кумулятивную кривую, качественно характеризующие распределение случайной величины (рис 5.1).

Рисунок 5.1- Гистограмма (а), полигон (б), кумулятивная кривая (в), медиана и мода (г).

Закон распределения случайной величины устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими их вероятностями. Для решения многих практических задач достаточно определить несколько числовых характеристик, чтобы оценить наиболее существенные особенности распределения случайной величины. К таким характеристикам относят математическое ожидание, медиану, моду, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.