Оценка качества уравнения парной регрессии

После расчета коэффициентов а ₀ и а ₁ уравнения парной линейной регрессии и построения модели прогноза вида

,

проводится анализ ее качества, т.е. проверка значимости коэффициентов и значимости (общего качества) построенного уравнения в целом.

Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии и линейного коэффициента корреляции осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. Для оценок коэффициентов регрессии и для линейного коэффициента корреляции определяются расчетные значения t -статистик Стьюдента:

; ; ,

где , и - стандартные ошибки коэффициентов регрессии и линейного коэффициента корреляции, определяемые по формулам:

; ; .

Расчетные значения t -статистик сравниваются с критическим (табличным) значением t_крит, для определения которого необходимо задать уровень значимости (например, 0,05) и число степеней свободы = N – 2 (число наблюдений минус число коэффициентов уравнения).

Если , то коэффициент а_i является статистически значимым (существенным). В противном случае коэффициент считается незначимым.

Если , т.е. линейная связь между переменными исследуемого уравнения является статистически значимой (выявленная линейная зависимость между переменными х и у является неслучайной).

Для оценки качества построенного линейного уравнения рассчитывается коэффициент детерминации:

,

характеризующий долю дисперсии зависимой переменной у, которая объясняется влиянием фактора х, включенного в уравнение регрессии, в общей дисперсии зависимой переменной у. Соответственно, величина характеризует долю дисперсии переменной у, вызванную влиянием неучтенных в модели факторов.

Чем больше значение коэффициента детерминации R ², тем меньше роль в изменении у неучтенных в модели факторов, т.е. тем лучше линейная модель отражает исходные данные, и ею можно пользоваться для прогноза значений результативного фактора у.

Оценка качества построенного уравнения регрессии проводится с помощью F-критерия Фишера. Для этого рассчитывается фактическое значение F - критерия, которое затем сравнивается с критическим значением этого критерия:

= .

В парной линейной регрессии и , т.е. .

Для определения критического значения F ‑критерия Фишера необходимо задать уровень значимости (например, 0,05), а также два числа степеней свободы (количество независимых переменных уравнения) и (число наблюдений минус число коэффициентов уравнения).

Если , то выявленная зависимость имеет неслучайную природу, а коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи статистически значимы. В противном случае выявленная зависимость случайна, а линейный коэффициент корреляции статистически незначим.