2018-01-08
689
1) Если корни в подынтегральном выражении имеют вид 
,
то с помощью подстановки 
, где 
− наименьшее общее кратное показателей корней, т.е. чисел 
, подынтегральное выражение преобразуется в рациональную дробь.
2) Интегралы вида 
преобразуются в интегралы от рациональных дробей с помощью подстановки 
.
3) Интегралы вида 
рационализируются с помощью подстановки 
.
4) Интегралы вида
а) 
,б) 
,в) 
интегрируются с помощью тригонометрических подстановок:
а) 
или 
,
б) 
или 
,
в) 
или 
.
Примеры 19. Вычислить интегралы:
1) 
.
Решение: Здесь 
входит в подынтегральную функцию с показателями корней 2 и 3. Поэтому применяем подстановку 
, откуда
.
Получился интеграл от рациональной дроби. Выделяем целую часть:
.
Для нахождения последнего интеграла разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:
,
откуда
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
, находим 
Следовательно,
2) 
,
Решение: Полагая 
, имеем
где 
.
3) 
.
Решение: Положим 
, откуда 
, 
.
Следовательно,
.
Для вычисления полученного интеграла представим подынтегральную дробь в виде
.
Таким образом,
где 
.
4) 
.
Решение: Положим 
. Тогда 
, 
. Имеем
Так как 
, то 
, 
. Поэтому 
5) 
.
Решение: Полагаем 
. Откуда 
, 
. Следовательно,
Задания для самостоятельной работы по теме
«Интегрирование иррациональных функций».
Задание. Вычислить следующие интегралы:
19.1.  .
| 19.2.  .
| 19.3.  .
|
19.4.  .
| 19.5.  .
| 19.6.  .
|
19.7.  .
| 19.8.  .
| 19.9.  .
|
19.10.  .
| 19.11.  .
| 19.12.  .
|
