Различные приемы интегрирования тригонометрических функций

1) Интегралы вида ,где и − целые числа.

Рассмотрим следующие случаи:

а) Если − нечетное число, то применяется подстановка ;
если − нечетное число, то применяется подстановка .

б) Если и − четные неотрицательные числа, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул понижения степени:

, , .

в) Если и − либо оба четные, либо оба нечетные, причем хотя бы один из них отрицателен, то применяют подстановку .

2) Интегралы вида , где − рациональная функция.

С помощью универсальной тригонометрической подстановки , откуда , , , интегралы рассматриваемого вида приводятся к интегралам от рациональных алгебраических функций.

3) Интегралы вида , , .

Такие интегралы легко вычисляются, если применить следующие тригонометрические формулы:

, ,

.

Примеры 18. Вычислить интегралы:

1) .

Решение: Применим подстановку и воспользуемся формулой . Тогда

2) .

Решение: Воспользуемся подстановкой . Имеем

3) .

Решение: Подынтегральная функция нечетна относительно синуса, поэтому сделаем подстановку . Тогда

4) .

Решение: Используя формулы понижения степени, получим

5) .

Решение: В данном случае применим подстановку и формулу . Тогда

6) ,

Решение: Представим числитель по формуле и разделим почленно числитель на знаменатель, получим

.

Для нахождения первого интеграла воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой , имеем

Для нахождения второго интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Полагая , , имеем

, .

Следовательно,

Итак, находим искомый интеграл

7) ,

Решение: Воспользуемся универсальной тригонометрической подстанов­кой . Имеем

.

 

 

8) .

Решение: Воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму, получим