Теоремы Ролля и Лагранжа, их геометрический смысл

Теорема Ролля

Пусть функция f (x) непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f (a) = f (b). Тогда существует точка c Î (a, b), в которой f ' (c) = 0. Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на [ a, b ],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m. Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [ a, b ], и теорема доказана. Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля

ГеометрическитеоремаРолля означает, что у графика непрерывной на отрезке [ a, b ] и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах f (a) = f (b) равные значения, существует точка (c; f (c)), в которой касательная параллельна оси Оx.

Теорема Лагранжа

Если функция f (x) непрерывна на замкнутом отрезке [ a, b ], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство

f (b) − f (a) = f '(c)·(b − a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим уравнение хорды, проходящей через точки (a, f (a)), (b, f (b))

y = f (a) + Q ·(x - a),

где есть угловой коэффициент хорды. Рассмотрим разность ординат функции и хорды

F (x) = f (x) − f (a) − Q ·(x − a).

Очевидно, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То есть F ' (c) = f ' (c) − Q = 0. Откуда следует

И, наконец, f (b) − f (a) = f '(c)·(b − a).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки M₁ (a; f (a)) и M₂(b; f (b)) графика функции у = f (x), a f ' (c) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (c; f (c)). Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка " c " такая, что касательная к графику в точке (c; f (c)) параллельна секущей M₁M₂. Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует. Замечание. Формула Лагранжа по структуре похожа на формулу линеаризации