Основные правила дифференцирования: производная суммы, произведения, частного. Производная сложной и обратной функций. Примеры

Производная суммы, произведения и частного.

Рассмотрим некоторые теоремы.

Теорема 1. Производная постоянной равна нулю, то есть

, где C-const.

Теорема 2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций

. (5)

Теорема 3. Производная произведения дифференцируемых функций равна

. (6)

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной

.

Замечание. Аналогично можно доказать формулу для произведения трех функций

.

Теорема 4. Производная частного двух дифференцируемых функций равна

. (7)

Замечание. Для функции вида , где C-const, рациональнее применять формулу производной произведения, а не частного:

.

Производная сложной функции. Производная обратной функции

Теорема о производной сложной функции

Пусть дана сложная функция или , где так называемый промежуточный аргумент. Справедливо правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция в некоторой точке х имеет производную , а функция при соответствующем значении u имеет производную , то сложная функция в указанной точке х также имеет производную , которая равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по х:

. (8)

Сводная таблица основных формул дифференцирования

1. . 2. , , , .

3. , . 4. , .

5. . 6. 7. .

8. . 9. . 10. .

11. . 12. .

Логарифмическое дифференцирование

Определение. Операция, состоящая в последовательном применении к функции сначала логарифмирования (по основанию e), а затем дифференцирования, называется логарифмическим дифференцированием, а её результат – логарифмической производной.

П ример. Найти производную от функции .

Решение. Логарифмируя, находим

.

Дифференцируем обе части полученного равенства

.

Умножая на у и подставляя вместо у его выражение, получим

.

Производные обратных функций

Определение. Если каждому значению у из области изменения функции соответствует единственное значение х, то можно говорить, что х есть функция от у

,

которая называется обратной функцией по отношению к данной.

Замечание. Функции и называются ещё взаимно-обратными.

Пример. Для функции обратной функцией является .

Теорема. Если функция дифференцируема, имеет обратную функцию и , то производная обратной функции существует и равна обратной величине производной данной функции, то есть

или .