Производная суммы, произведения и частного.
Рассмотрим некоторые теоремы.
Теорема 1. Производная постоянной равна нулю, то есть
, где C-const.
Теорема 2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций
. (5)
Теорема 3. Производная произведения дифференцируемых функций равна
. (6)
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной
.
Замечание. Аналогично можно доказать формулу для произведения трех функций
.
Теорема 4. Производная частного двух дифференцируемых функций равна
. (7)
Замечание. Для функции вида , где C-const, рациональнее применять формулу производной произведения, а не частного:
.
Производная сложной функции. Производная обратной функции
Теорема о производной сложной функции
Пусть дана сложная функция или , где так называемый промежуточный аргумент. Справедливо правило дифференцирования сложной функции.
Теорема. Если функция в некоторой точке х имеет производную , а функция при соответствующем значении u имеет производную , то сложная функция в указанной точке х также имеет производную , которая равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по х:
. (8)
Сводная таблица основных формул дифференцирования
1. . 2. , , , .
3. , . 4. , .
5. . 6. 7. .
8. . 9. . 10. .
11. . 12. .
Логарифмическое дифференцирование
Определение. Операция, состоящая в последовательном применении к функции сначала логарифмирования (по основанию e), а затем дифференцирования, называется логарифмическим дифференцированием, а её результат – логарифмической производной.
П ример. Найти производную от функции .
Решение. Логарифмируя, находим
.
Дифференцируем обе части полученного равенства
.
Умножая на у и подставляя вместо у его выражение, получим
.
Производные обратных функций
Определение. Если каждому значению у из области изменения функции соответствует единственное значение х, то можно говорить, что х есть функция от у
,
которая называется обратной функцией по отношению к данной.
Замечание. Функции и называются ещё взаимно-обратными.
Пример. Для функции обратной функцией является .
Теорема. Если функция дифференцируема, имеет обратную функцию и , то производная обратной функции существует и равна обратной величине производной данной функции, то есть
или .