Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть в интервале (a, b) задана функция f (x) и в каждой точке x  (a, b) существует производная f '(x). Таким образом в интервале (a, b) задана функция y = f '(x).

Если первая производная функция y = f '(x) дифференцируема в интервале (a, b), то ее производная называется второй производной функции f (x).

Вторая производная обозначается символами f ''(x) или

d 2 f

dx 2

.

Вообще, производной n–го порядка функции f (x), называется производная от производной функции f (x) (n − 1)–го порядка. Производная n –го порядка обозначается f ⁽ⁿ⁾ (x).

Замечание. Если речь идет о производной n –го порядка (n = 2, 3, …) в фиксированной точке x ₀, то для существования f ⁽ⁿ⁾ (x ₀) необходимо существование f ^{(n − 1)} (x) не только в точке x ₀, но и в некоторой ее окрестности. При этом условии

 

f (n) (x 0) = d dx f (n − 1) (x 0).

 

Функция, имеющая в точке производную n –го порядка, называется n раз дифференцируемой в этой точке.

Функция, имеющая в точке производные всех порядков, называется бесконечно дифференцируемой в этой точке.

Формулы для производных n –го порядка суммы и произведения функций

Если функции u (x) и v (x) n раз дифференцируемы на некотором промежутке, то производная n –го порядка суммы определяется формулой

 

(u + v)(n) = u (n) + v (n),

 

а производная n –го порядка произведения определяется формулой Лейбница

 

(u · v)(n) = u (n) · v + n u (n − 1) · v ' + n (n − 1) 2! u (n − 2) · v '' + … + u · v (n).

 

Формула Лейбница может быть записана в виде

 

(u · v)(n) = n ∑ k = 0 Cnk · u (n − k) v (k),

 

где u ⁽⁰⁾ = u (x), v ⁽⁰⁾ = v (x) и C_n^k =

n!

k! (n − k)!

— биномиальные коэффициенты.

Дифференциалы высших порядков

Пусть в интервале (a, b) задана дважды дифференцируемая функция y = f (x), где x — независимая переменная.

Фиксируем приращение dx = Δ x независимой переменной x, т.е. будем считать первый дифференциал

 

dy = f '(x) dx

(1)

 

функцией только переменной x.

Дифференциал от первого дифференциала, при условии, что повторное приращение независимой переменной x совпадает с первоначальным, называется вторым дифференциалом функции f (x) в точке x и обозначается d ² f (x).

Дифференцируем выражение в правой части (1) как произведение

 

d 2 f (x) = d (df (x)) = d (f '(x) dx) = f ''(x) dx · dx + f '(x) · d (dx).

 

Учитывая, что d (dx) = 0, получаем формулу для вычисления второго дифференциала

 

d 2 f (x) = f ''(x) dx 2.

(2)

 

Пусть в интервале (a, b) функция f (x) имеет производные до n –го порядка включительно.

Дифференциалом n –го порядка называется дифференциал от дифференциала (n − 1)–го порядка

 

dn f (x) = d (d (n − 1) f (x)).

 

Формула для вычисления дифференциала n–го порядка

 

dn f (x) = f (n) (x) dxn.

 

Неинвариантность формы дифференциала порядка выше первого

Рассмотрим случай, когда х является не независимой переменной, а функцией от другой переменной

 

y = f (x), x =  (u).

 

В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем

 

dy = f '(x) dx.

(3)

 

Теперь в правой части формулы (3) от переменной u зависит не только функция f (x), но и дифференциал dx. Следовательно

 

dx =  '(u) du, d 2 x =  ''(u) du 2.

 

Таким образом, в общем случае

 

d 2 y = f ''(x) dx 2 + f '(x) d 2 x.

(4)

 

Сравнивая формулы (2) и (4), убеждаемся, что дифференциалы второго (и более высоких порядков) не обладают инвариантностью формы.

 

Правило Лопиталя

Если , и если функции f(x) и g(x) –

 

дифференцируемы в окрестности точки , то

В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

Рассмотрим несколько примеров и подробно разберем решения.

Пример.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Решение.

Подставляем значение

Пределы с неопределенностью данного типа можно находить по правилу Лопиталя:

Ответ: