Свойства сложения матриц. Глава I. Линейная алгебра

Глава I. Линейная алгебра

Матрицы

Матрицы. Виды матриц.

Матрицей называется упорядоченная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Число строк и столбцов (m n) называется размером матрицы.

а_ij называется элементом матрицы, где i-номер строки, j-номер столбца матрицы.

Пример

а) А= размер матрицы 2 2, а₁₁=1, а₂₁=3.

б) В= размер матрицы 4 3, а₃₃=13, а₄₁=4, а₁₂=0.

Виды матриц

Матрица называется квадратной, если в ней число строк равно числу столбцов.

Если в матрице число строк не равно числу столбцов, то такая матрица называется прямоугольной.

Пример

А= -квадратная матрица; В= -прямоугольная матрица.

Матрица, элементы которой составляют строку, называется матрица строка.

Матрица, элементы которой составляют столбец, называется матрица столбец.

Пример

А= - матрица строка; В= - матрица столбец.

Главная диагональ квадратной матрицы - это диагональ, которая начинается с элемента а₁₁.

Квадратная матрица, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей.

Пример

Е= - единичная матрица; О= - нулевая матрица.

Матрица, в которой строки и столбцы заменены местами, называется транспонированной матрицей А^т.

Пример

Если А= , тогда А^т= .

Действия над матрицами

Равенство матриц.

Две матрицы называются равными, если они одного размера и равны их соответствующие элементы.

Пусть А= , В= , тогда А=В, если а_ij=в_ij.

Сложение матриц.

При сложении матриц (одного размера) складываются их соответствующие элементы.

Пусть А= , В= , А+В=С, С= , где с_ij= а_ij+в_ij. [1.1]

Пример

А= , В= , А+В= .

Свойства сложения матриц.

1) А+В=В+А

2) (А+В)+С=А+(В+С)

3) А+О=О+А=А