Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц

Ранг матрицы (rang)- наибольший порядок порождённых ею определителей отличных от нуля.

1) для квадратных матриц rang≤(n, n)

2) для прямоугольных матриц rang≤ min(m, n), где m- число строк, n-число столбцов.

Элементарные преобразования матриц:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца);

2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на λ≠0, λ=conct;

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

4) Прибавление к каждому элементу строки (столбца) соответственных элементов другой стоки (столбца), умноженных на λ≠0, λ=conct.

5) Транспонирование матрицы.

Теорема

Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матриц.

Методы вычисления ранга матриц.

Метод нулей и единиц: путём элементарных преобразований приводим матрицу к виду, когда все её элементы будут нули и единицы; тогда ранг матрицы- это число ненулевых строк.

Пример

А= ~ ~ ~

1стр.+2стр.; 1стр.-3стр., 3стр.-2стр. 2; 2стр.+3стр. 3; получили две ненулевых строки, значит rang=2.

Метод окаймляющих миноров: пусть мы нашли минор к-го порядка, который не равен нулю. Рассмотрим все миноры к+1-го порядка, включающие в себя данный минор, (они окаймляющие). Если все окаймляющие миноры равны нулю, то. Рассмотрим все миноры к+1-го порядка, включающие в себя данный.

Пример

А= , выберем минор к-го порядка (к=2), ≠0. Рассмотрим все миноры к+1-го (к+1=3) порядка, включающие в себя данный минор: =0, значит rang=2.