Модель Самуельсона-Хікса з періодичними коефіцієнтами

 

Представимо ще один приклад стохастичної моделі економічної динаміки. Часто в економічних прикладах уважають, що коефіцієнти моделі не змінюються в часі. Однак таке припущення істотно обмежує область застосування моделі й може не відповідати реально спостережуваній ситуації. Ha прикладі досить простої моделі Самуельсона-Хікса покажемо, як істотно змінюється характер поводження моделі при використанні простої періодичної залежності коефіцієнтів моделі від часу. Періодичність коефіцієнтів досить часто зустрічається в економічних моделях, вона зв'язана як із сезонними коливаннями величин (наприклад, попиту на окремі товари), так і з наявністю циклів у розвитку окремих галузей і економіки в цілому.

Розглянемо рівняння моделі Самуельсона-Хікса:

(9.43)

(9.44)

(9.45)

де Y(t) – національний доход у момент часу t;

C(t) – споживання;

І (t) – інвестування;

G(t) – державні витрати;

0 < γ < 1 – гранична схильність до споживання;

α – акселератор;

C – автономне споживання;

І – автономне інвестування.

Після підстановки модель (9.43) – (9.45) приймає вид:

(9.46)

Припустимо, що параметри в рівняннях (9.43), (9.44) насправді залежать від часу, тобто

і являються g – періодичним.

В такому випадку модель приймає вид:

(9.47)

Розглянемо результати застосування теорії Флоке до моделі (9.47). Головну роль в аналізі цієї моделі грають мультиплікатори Флоке для однорідного рівняння, що відповідає (9.47);

(9.48)

Ці мультиплікатори є власними числами матриці монодромії:

(9.49)

тобто коренями квадратного рівняння:

(9.50)

Позначимо – одиничне коло на комплексній плоскості.

Мультиплікатори Флоке для моделі (9.47) більш складніші ніж для моделі з постійними коефіцієнтами (9.46).

Нехай

Можливі настурні три випадки:

а) – один мультиплікатор Флоке лежить усередині Т, а другий – зовні;

б) обидва значення лежать у середині Т;

в) обидва значення лежать зовні Т;

При малих значеннях акселераторів обидва значення лежать усередині Т.

Розглянемо тепер асимптотичне поводження рішень.

I. Будь-яке рішення моделі (9.48) для HD являється обмеженим, якщо всі мультиплікатори Флоке для неї лежать на або усередині одиничного кола;

II. Будь-яке ненульове рішення моделі (9.48) є необмеженим, якщо всі мультиплікатори лежать поза одиничним колом;

III. Будь-яке рішення моделі (9.48) прагне до нуля, якщо всі мультиплікатори лежать усередині Т.

IV. Будь-яке рішення моделі (9.47) є обмеженим (прагне до Н), тоді й тільки тоді, коли існує обмежене рішення (9.47) і будь-яке рішення моделі (9.48) обмежено (прагне до нуля).

Існування обмеженого (збіжного) рішення залежить від автономного споживання, інвестування й державних витрат. Необхідною умовою є обмеженість державних витрат.

V. B моделі (9.47) існує постійне рішення виду

Таким чином, вибираючи підходящу g -періодичну функцію державних витрат можна домогтися будь-якого постійного рішення для HD.

VI. Для того щоб модель (9.47) мала r -періодичне рішення, необхідно й досить, щоб функція державних витрат мала період, рівний найменшому загальному кратному r і g.

 

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

 

1) Обґрунтуйте сутність стохастичних моделей економічної динаміки?

2) Наведіть приклади швидких процесів в економіці.

3) Закон збереження ресурсу й грошова форма збереження ресурсу.

4) Охарактеризуйте модель оцінки валютних потоків.

5) Якою формальною моделлю можна представити грошові й товарні потоки?

6) B чому суть моделі валютної паніки?

7) Приведіть приклади, що описують розвиток валютної паніки?

8) Проведіть аналіз моделі Самуельсона-Хікса.

9) Вплив часу на параметри моделі Самуельсона-Хікса.